sad8(2).

Wartość oczekiwana. Kowariancja.
E[ g ( X , Y )] =   g ( x, y ) f ( x, y ) ,
x y
gdy X, Y są dyskretne,
 
E[ g ( X , Y )] =   g ( x, y ) f ( x, y )dxdy ,
 
gdy X, Y są ciągłe.
Uwaga. Dla g ( X , Y )  X lub g ( X , Y )  Y
otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych
zmiennych losowych X lub Y, gdyż
(a) w przypadku dyskretnym
E (X ) =   xf ( x, y ) =  x  f ( x, y ) =  xf X ( x)   X .
x y
x
x
y
E (Y ) =   yf ( x, y) =  y  f ( x, y ) =  yfY ( y )  Y
x y
y
x
y
(b) w przypadku ciągłym
 



E (X ) =   xf ( x, y )dxdy =  x  f ( x, y )dy dx 

 
  

=  xf X ( x)dx   X .

Analogicznie otrzymujemy
 

 

E (Y )    yf ( x, y )dxdy   yfY ( y )dy = Y .
Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a
g ( X , Y ) , g1 ( X , Y ) , g 2 ( X , Y ) zmiennymi losowymi
jednowymiarowymi. Wówczas
E[cg ( X , Y )  cE[ g ( X , Y )] ,
E[ g1 ( X , Y )  g 2 ( X , Y )]  E[ g1 ( X , Y )]  E[ g 2 ( X , Y )].
Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne,
to
E ( XY )  E ( X ) E (Y ) .
Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o
łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości )
f ( x, y) . Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy
liczbę:
 XY  E[( X   X )(Y  Y )].
Stąd:  XY    ( x   X )( y  Y ) f ( x, y ) ,
x y
gdy X, Y są dyskretne
 
 XY    ( x   X )( y  Y ) f ( x, y )dxdy ,
 
gdy X, Y są ciągłe.
Notacja: Zamiast  XY często piszemy Cov (X,Y).
Stwierdzenie. Cov(X,Y) = E ( XY )   X Y .
Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są
niezależne, to
Cov(X,Y) = 0.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół
prawdziwe.
Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b
Var( aX  bY ) =
a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) + 2 ab Cov(X,Y).
Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne,
to
Var( aX  bY ) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y).
Definicja. Współczynnikiem korelacji między
zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

Cov( X , Y )
.
Var ( X ) Var (Y )
Zadanie. Zmienna losowa ( X , Y ) ma rozkład ciągły o
gęstości
0  x  y 1
Cy
f ( x, y )  
dla
.
przeciwnie
0
a) Wyznaczyć stałą C.
b) Obliczyć kowariancję pomiędzy zmiennymi X, Y.
c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne ?
 
1
1
1
 
0
x
0

2
a)   f ( x, y )dxdy =  dx  Cydy = C  y / 2
 x dx =
1
1 1
x2 
= C    dx = C ( 1/2 - 1/6 ) = 1. Stąd C = 3.
2
0 2
 
1
1
 
0
x
b) E ( X )    xf ( x, y )dxdy =  xdx  3 ydy =


x x3 
= 3  x y / 2 dx = 3    dx = 3
x
2
0 2
0
1
2
1
1
 x2 x4  1
   =
8 0
4
= 3/8
 
1
1
 
0
x
E (Y ) =   yf ( x, y )dxdy =  dx  3 y 2 dy =
11
x3 
= 3    dx =
3
03

x4  1
 x   = 1 – 1/4 = 3/4
4 0

 
1
1
 
0
x
E ( XY ) =   xyf ( x, y )dxdy =  xdx  3 y 2 dy =
1
 xdx = 3  x(1  x )dx = 3( x
=3 x y
0
1
3
1
3
2
0
1
/ 2  x / 5) =
0
5
= 0,9
Cov(X,Y) = 0,9 – (3/8)(3/4) = 99/160.
(c) Cov(X,Y)  0, więc zmienne nie są niezależne, tzn.
są zależne.
Własności współczynnika korelacji
(i)
(ii)
1    1
Jeśli a i b są stałymi, oraz jeśli
Y = a + bX,
to
1
gdy
 
 1
b0
b0
(iii) Jeśli   1, to między zmiennymi losowymi X, Y
istnieje liniowa zależność funkcyjna.
(iv)
Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to
  0.
Interpretacja. Współczynnik korelacji jest miarą
zależności liniowej między zmiennymi losowymi.
Dwuwymiarowy rozkład normalny
Zmienna losowa ( X , Y ) ma dwuwymiarowy rozkład
normalny, jeśli ma gęstość postaci:
f ( x, y ) 


1

q
(
x
,
y
)
 exp 
,
2
2 X  Y
 2(1   )

1
gdzie
q ( x, y ) 
( x   X )2
 X2
 2
( x   X )( y  Y )
 XY

( y  Y ) 2
 y2
   x  ,    y   , stałe  X , Y ,  spełniają
warunki  X > 0,  Y > 0, 1    1.
Notacja: ( X , Y ) ~ N (  X , Y ,  X ,  Y ,  )
Twierdzenie. Jeśli ( X , Y ) ~ N (  X , Y ,  X ,  Y ,  ) , to
,
(i)
X ~ N ( X ,  X ) ,
(ii)
Cov(X,Y) =  .
Y ~ N ( Y ,  Y ) .
(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy  = 0.
Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma
dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy
gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b
są dowolnymi stałymi.
Zadanie. Niech zmienna losowa X oznacza dzienną
wartość sprzedaży ( w 100 zł. ) dyskietek a zmienna
losowa Y dzienną wartość sprzedaży papieru
kserograficznego ( w 100 zł.). Wiadomo, że
dwuwymiarowa zmienna losowa ( X , Y ) ma rozkład
normalny o parametrach:  X  5 , Y  6 ,  X  0,5 ,
 Y  0,2   0,1. (a) Obliczyć wartość średnią oraz
wariancję łącznej wartości sprzedaży w ciągu 10 dni,
jeśli wartości sprzedaży obu artykułów w kolejnych
dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach takich jak rozkład zmiennej ( X , Y ) . (b)
Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna wartość
sprzedaży w ciągu 10 dni przekroczy 10000 zł.
(a) Łączna wartość sprzedaży:
S10  ( X1  Y1 )  ...  ( X10  Y10 ) .
E(S10 )  10  [ E ( X )  E(Y )]  10(5  6)  110(100 zł.)
Średnia łączna wartość sprzedaży to 11000 zł.
Var( S10 ) = 10 Var(X +Y) = 10 [Var(X) + Var(Y) +
2Cov(X,Y)] = 10( 0,52  0,22  2  0,1 0,5  0,2) =
= 30 (100 2 zł. ).
(b) S10 ~ N (110, 30) . Zatem po standaryzacji
S10  110
~ N (0,1) , skąd
30
 S  110 100  110 

P( S10  100) = P 10
=
30
30 

P( Z  1,8257) = 1  (1,8257) = 1 – [1 - (1,8257) ]
= 0,966.
CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH
Niech X1, X 2 ,..., X n będą zmiennymi losowymi
określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń
elementarnych S .
F ( x1, x2 ,..., xn ) = P( X1  x1, X 2  x2 ,..., X n  xn ) =
dystrybuanta wektora losowego ( X1, X 2 ,..., X n ).
f ( x1, x2 ,..., xn ) = funkcja prawdopodobieństwa
łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego
( X1, X 2 ,..., X n ).
Definicja. Zmienne losowe X1, X 2 ,..., X n są niezależne,
jeśli
F ( x1, x2 ,..., xn ) = FX 1 ( x1 ) FX 2 ( x2 )  ...  FX n ( xn ) ,
gdzie FX i ( x i )  P( X i  xi ) , i = 1,2,...,n.
Definicja.
E[ g ( X1, X 2 , , , , X n )] =
  ... g ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
x1 x 2
xn
lub
 

 

  ...  g ( x1 , x2 ,..., x n ) f ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn .
Stwierdzenie. Dla dowolnych stałych a1, a2 ,..., an :
E (a1 X1  a2 X 2  ...  an X n ) =
a1E ( X1 )  a2 E ( X 2 )  ...  an E ( X n ) .
Wniosek. Niech E ( X i )   , i = 1,2,..,n, oraz
1 n
X   Xi .
n i 1
Wówczas E ( X ) =  .
1
D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć ai  , i = 1,2,..,n.
n
Stwierdzenie. Jeśli X1, X 2 ,..., X n są niezależnymi
zmiennymi losowymi, to
Var (a1 X1  a2 X 2  ...  an X n ) =
a12 Var( X 1 ) + a2 2 Var( X 2 ) + ... + a n 2 Var( X n ).
1
W szczególności, jeśli Var( X i ) =  2 oraz ai  ,
n
i = 1,2,..,n, to
2
Var( X ) =
.
n
Przykład. Dokonujemy n jednakowych, niezależnych
doświadczeń Bernoulli’ego o prawdopodobieństwie
sukcesu p, 0  p  1. Znaleźć wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej losowej Sn będącej liczbą
sukcesów.
Niech X i  1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,
X i  0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas
X1, X 2 ,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o
funkcjach prawdopodobieństwa:
f X i (1)  p , f X i (0)  1  p .
Stąd:
E ( X i )  p , Var( X i ) = p(1  p) .
Liczba sukcesów =
Sn  X1  X 2  ...  X n .
E (Sn ) = E ( X1  X 2  ...  X n ) =
E ( X1 )  E ( X 2 )  ...  E ( X n ) = np .
Var( Sn ) =
Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + ... + Var( X n ) = np(1  p)
PODSTAWY WNIOSKOWANIA
STATYSTYCZNEGO
Populacja – zbiorowość elementów badanych ze
względu na określoną cechę.
Rozkład populacji = rozkład prawdopodobieństwa
cechy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X - cechy losowo wybranego elementu
populacji.
Losujemy n elementów niezależnie i w taki sam sposób
( np. w przypadku skończonej populacji – losowanie ze
zwracaniem ). Niech zmienna losowa X i oznacza
cechę i-go potencjalnie wylosowanego elementu,
i  1,..., n. Wówczas X1 , X 2 ,..., X n są niezależnymi
zmiennymi losowymi o rozkładzie cechy X .
Definicja. Prostą próbą losową o liczności n
nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych
X1, X 2 ,..., X n określonych na przestrzeni zdarzeń
elementarnych S i takich, że każda ze zmiennych ma
taki sam rozkład.
Mówimy wówczas, że X1, X 2 ,..., X n jest prostą próbą
losową z rozkładu ( odpowiednia nazwa rozkładu ).
Konkretny ciąg wartości x1 , x2 ,..., xn ( prostej ) próby
losowej X1, X 2 ,..., X n nazywamy realizacją ( prostej )
próby losowej lub próbką.
Zadanie statystyki: badanie własności rozkładu cechy
X na podstawie obserwacji – próbki.
Np. jak ocenić  X na podstawie realizacji prostej próby
losowej? W jakim sensie średnia próbkowa x jest dobrą
oceną  X ?
Rozkład średniej prostej próby losowej
Określenie. Statystyką nazywamy zmienną losową
T ( X1, X 2 ,..., X n ) będącą funkcją próby losowej
X1, X 2 ,..., X n .
Statystykę
X 1  X 2  ...  X n 1 n
X 
=  Xi
n
n i 1
nazywamy średnią z próby losowej X1, X 2 ,..., X n .
Średnia próbkowa x = realizacja statystyki X .
Twierdzenie. ( Prawo wielkich liczb ). Niech
X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu
zmiennej losowej X o średniej  . Wówczas dla
dowolnie małej liczby   0
P( X  [    ,    ])  1, przy n   .
Stąd średnia z prostej próby losowej jest dobrym
oszacowaniem średniej teoretycznej ( średniej rozkładu
cechy populacji ): P ( X     ) bliskie 1, dla
dostatecznie dużego n.
Stwierdzenie. Niech X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą
losową z rozkładu zmiennej losowej X o średniej  i
wariancji  2 . Wówczas
(a) E ( X )   ,
2
Var( X ) =
,
n
(b) Jeśli X ~ N (  ,  ) , to X ~ N (  ,

n
)
Zadanie. Załóżmy, że wzrost ( w cm ) w populacji
dorosłych Polaków jest cechą o rozkładzie normalnym o
nieznanej wartości średniej  ( cm ) i odchyleniu
standardowym  = 6,5 ( cm ). Obliczyć
prawdopodobieństwo, że średnia z prostej próby
losowej o liczności 100 ( średni wzrost 100 losowo
wybranych dorosłych Polaków ) różni się od
prawdziwej wartości  o więcej niż 1,5 (cm).
Wiemy, że X ~ N (  ,
6,5
)  N (  ,0,65) .
100
P ( X    1,5)  P({ X    1,5} { X    1,5}) =
P( X    1,5) + P( X    1,5) =
 X   1,5 
 X    1,5 

P

= P
+


=
 0,65 0,65 
 0,65 0,65 
= P( Z  2,31)  P( Z  2,31) = 2 (2,31) =
2[1  (2,31) ] = 0,0208,
gdzie Z ma standardowy rozkład normalny.
Zauważmy, że dla pojedynczej obserwowanej zmiennej
mamy
P( X 1    1,5)  2 P( Z  0,231) = 0,8180.
( rysunek gęstości średniej )
Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE
GRANICZNE = twierdzenie Lindeberga-Levy’ego)
Niech X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą losową z
rozkładu o średniej  i wariancji  2 . Wówczas dla
dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa
standaryzowanej średniej jest bliski standardowemu
rozkładowi normalnemu N (0,1) , dokładniej, dla
dowolnych    a  b   zachodzi
X 
P(a 
 b)  P(a  Z  b)  (b)  (a),
/ n
przy n   . Równoważnie rozkład średniej X jest
bliski rozkładowi normalnemu N (  ,  / n ) .
Uwaga. Przy założeniach centralnego twierdzenia
granicznego rozkład prawdopodobieństwa
standaryzowanej sumy Sn  X1  X 2  ...  X n jest w
przybliżeniu rozkładem normalnym, tzn.
S n  n


P a 
 b   (b)  (a) , przy n   .
n


Równoważnie rozkład Sn jest bliski N (n , n ) .
Wystarczy zauważyć:
S n  n
X 




P a 
 b   P a 
 b
n
/ n




Uwaga. Przybliżenie na ogół można stosować gdy
n  25 .
Wniosek. ( Twierdzenie Moivre’a – Laplace’a)
Jeśli Sn ~ Bin(n, p) , to przy n  


S n  np

P a 
 b   (b)  (a) .
np(1  p)


D. Sn  X1  X 2  ...  X n , gdzie X1, X 2 ,..., X n jest
prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli’ego Bin(1, p) .
Zatem   p,  2  p(1  p) . Po podstawieniu
otrzymujemy tezę.
Uwaga. Przybliżenie można stosować gdy
np  5, np(1  p)  5 .
Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do
pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na
przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w
różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone
prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny
dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.
Niech X i oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,
i  1,2,...,30 .
0,5  1 3
  E( X i ) 
 ,
2
4
(1  0,5) 2 1
2
  Var ( X i ) 
 .
12
48
3
1
E ( X )  , Var ( X ) 
4
30  48
P ( X  0,8) = P(
X  3/ 4
0,8  3 / 4

) 
1 /(30  48)
1 /(30  48)
P( Z  1,89)  0,03.
Zadanie. Codzienne opóźnienie pociągu ( w minutach )
na pewnej trasie jest zmienną losową ciągłą o gęstości
0  x  10
Cx
.
f ( x)   dla
przeciwnie
0
a) Wyznaczyć stałą C.
b) Wyznaczyć dystrybuantę F ( x), x  (, ) .
c) Obliczyć prawdopodobieństwa P( X  5) ,
P(5  X  7) .
d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
codziennego opóźnienia pociągu.
e) Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że łączne
opóźnienie pociągu na tej trasie w ciągu 90 dni
przekroczy 600 minut, jeśli opóźnienia w kolejnych
dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

10

0
a)  f ( x)dx   Cxdx  C  50 = 1. C = 1/50.
 x
x
  0dt
x0
b) F ( x)   f (t )dt =  x  
dla
,
0  x  10

  (t / 50)dt
0
Zatem
x0
 0

F ( x)   x 2 / 100 dla 0  x  10.
 1
x  10

c) P( X  5) = 1 – F(5) = 1- 25/100 = 0,75.
P(5  X  7) = F(7) – F(5) = 0,49 – 0,25 = 0,24.

10

0
d)   E ( X )   xf ( x)dx =  ( x 2 / 50)dx = 20/3,

10
E ( X )   x f ( x)dx   ( x 3 / 50)dx = 50.
2
2

0
 2  Var ( X )  E ( X 2 ) -  2 = 50 – 400/9 = 50/9.
e) Niech S90  X1  X 2  ...  X 90 oznacza łączny czas
opóźnienia w ciągu 90 dni. X1, X 2 ,..., X n jest prostą
próbą losową z rozkładu o gęstości takiej jak
gęstość zmiennej X. X i = opóźnienie i-go dnia.
20
 600.
3
 50 
Var( S90 ) = 90    .
9
Z Centralnego Twierdzenia Granicznego rozkład
50
).
S90 jest bliski rozkładowi N (600, 90 
9
E ( S90 )  90 
P(S90
600  600 
 S 90  600
 600)  P

=
90  50 / 9 
 90  50 / 9
P( Z  0)  1  (0) = 1 - 0,5 = 0,5.
Poprawka w przybliżeniu normalnym
Jeśli zmienne losowe X i w prostej próbie losowej
przyjmują jedynie wartości całkowite, to otrzymamy
lepsze przybliżenie rozkładem normalnym stosując
Centralne Twierdzenie Graniczne ( w szczególności
twierdzenie Moivre’a – Laplace’a ) z tzw. poprawką
uwzględniającą fakt, że rozkład dyskretny przybliżamy
rozkładem ciągłym, dokładniej zauważmy iż dla
całkowitych a i b mamy:
n
n
i 1
i 1
P(a   X i  b) = P(a  0,5   X i  b  0,5)
n
(1) P(a  0,5   X i  b  0,5) =
i 1
n

 X i  n X
 a  0,5  n
b  0,5  n X
X
P
 i 1

n X
n X
n X



 b  0,5  n X

n X

Równoważnie mamy:

 
 a  0,5  n X

n X


 .



 



(2)
b  0,5 
 a  0,5
P
X
 
n 
 n
 b  0,5  n X
= 
n X


 a  0,5  n X
 - 
n X





Przykład. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie
testowana na 100 osobach. Producent ocenia jej
skuteczność na 80 %. Znaleźć przybliżone
prawdopodobieństwo, że
(a) pożądaną odporność uzyskają mniej niż 74 osoby,
(b) co najmniej 74 osoby i co najwyżej 85 osób uzyska
odporność po zastosowaniu szczepionki.
Niech S100  X1  X 2  ...X100 będzie liczbą osób
spośród 100 testowanych, które uzyskają odporność,
gdzie X1, X 2 ,..., X100 jest prostą próbą losową z
rozkładu Bernoulli’ego Bin(1,0,8) . Stąd
  E ( X 1 )  0,8 ,  2  Var( X1 )  0,8  0,2  0,16 ,
  0,4.
(a) Wstawiając we wzorze (1) a   , b  73, n =100
mamy: P(S100  74)  P(S100  73) 
 S  100  0,8 73  0,5  100  0,8 
P 100


100  0,4
100  0,4


73,5  80 

P Z 
 = P( Z  1,62) = 1 – 0,9474 =
4


= 1 - P( Z  1,62) = 1 – 0,9474 = 0,0526.
85,5  80 
 73,5  80
Z
(b) P(74  S100  85)  P
=
4
4


= P(1,63  Z  1,37)  (1,37)  (1,63) =
= (1,37)  [1  (1,63)] = 0,9147 – 1 + 0,9484 =
= 0,8631.
Rozkład częstości
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie
Bernoulli’ego, tzn.
P( X  1)  p i P( X  0)  q  1  p .
W zastosowaniach często p  100 % oznacza procent
elementów badanej populacji posiadających określoną
własność. Wówczas p nazywamy proporcją lub
wskaźnikiem struktury.
 X  1  p  0  (1  p)  p
 X 2  12  p  02  (1  p)  p 2  p(1  p)
Niech X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą losową z
rozkładu X. ( X i  1 (0) jeśli i-ty wylosowany element
ma ( nie ma ) określoną własność ).
n
 Xi
S
pˆ  i 1 = n = X nazywamy częstością wystąpienia
n
n
(elementów o danej własności ) w prostej próbie
losowej.
p (1  p )
.
E ( pˆ )  p , Var( p̂ ) =
n
Z Centralnego Twierdzenia Granicznego dla średniej
z próby losowej mamy:


P ( a 





pˆ  p
 b    (b)   (a ) ,

p (1  p )

n

gdy n   , oraz na mocy wzoru (2)
b  0,5 
 a  0,5
P
 pˆ 
 
n
n


 b  0,5  np 
 a  0,5  np 
 - 
 .
= 
 np(1  p ) 
 np(1  p ) 
Twierdzenie. Dla dowolnych a, b


P( a 





pˆ  p
 b    (b)   (a) , gdy n   .

pˆ (1  pˆ )

n

Zadanie. W populacji dorosłych Polaków 39 % ma
kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że
wśród 100 losowo wybranych dorosłych Polaków
częstość osób mających kłopoty ze snem nie przekroczy
0,33.
P( pˆ  0,33)  P(S100  100  0,33)  P(S100  33,5) =
 S  100  0,39
33,5  100  0,39 
= P 100

 
100  0,39  0,61 
 100  0,39  0,61
(1,13)  1  (1,13)  0,1292.