Wykład 1

Wykład 2. Rozkłady warunkowe
■ Założenia.
Niech na przestrzeni mierzalnej (, B ) będzie określona miara probabilistyczna P, oraz
σ-podciało   B σ-ciała B .
Oczywiście, że P jest miarą probabilistyczną również na przestrzeni (,  ) .
Niech X będzie P-całkowalną zmienną losową określoną na (, B ) .
■ Definicja. Warunkowa wartość oczekiwana.
Definicja. Warunkowa wartość oczekiwana.
Ξ- mierzalną funkcję g X :   R spełniającą warunek
(*)
 X ( )dP( )   g X ( )dP( )
A
dla A   .
A
nazywamy warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X względem podciała Ξ
i oznaczamy E ( X | ) .
Jej istnienie wynika z twierdzenia Radona-Nikodyma .
Uwaga. Różnica między zmienną X i funkcją g X polega na tym, że g X jest Ξ- mierzalna,
a X jest B -mierzalna. Stąd:
- jeśli   B , to E ( X | )  X p.w. P,
- jeśli X jest Ξ- mierzalna, to E ( X | )  X p.w. P.
Definicja. Warunkowa wartość oczekiwana względem zmiennej losowej.
Niech X i Y będą zmiennymi losowymi X ,Y : (, B )  ( R, B( R)) .
Funkcję E( X | Y 1( B( R))) nazywamy warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej
X względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E ( X | Y ) .
Uwaga.
E ( X | Y ) jest z definicji funkcją mierzalną względem σ-ciała Y 1( B( R)) , gdzie B(R) jest
σ-ciałem zbiorów borelowskich w R.
Twierdzenie. Własności warunkowej wartości oczekiwanej.
Niech X , Y , X1, X 2 ,.... będą całkowalnymi zmiennymi losowymi   R określonymi na
przestrzeni (, B , P) oraz niech   B . Wtedy p.w. (, P ) :
1. E (aX  bY | )  aE ( X | )  bE (Y | ) ,
2. jeśli a  X  b , to a  E ( X | )  b ,
3. jeśli X  Y p.w. P, to E ( X | )  E (Y | ) ,
4. X k  jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych i X k  X p.w. P,
to lim E ( X k | )  E ( X | ) ,
5. EE( X | )  E( X ) ,
6. dla dowolnej funkcji borelowskiej h : R  R i  -mierzalnej zmiennej losowej Z takiej,
że h( Z ) X jest całkowalna zachodzi E (h( Z ) X | )  h( Z ) E (Y | ) ,
7. jeśli X i Y są niezależne, to E ( X | Y )  E ( X ) .
■ Definicja. Warunkowa wartość oczekiwana E ( X | Y  y ) .
Każdą B(R) mierzalną funkcję mX : R  R spełniającą
 mX ( y)dP
Y
 X ( )dP( )
( y) 
B
Y
1
dla wszystkich B  B(R)
( B)
nazywamy warunkową wartością oczekiwaną zmiennej X względem ustalonej wartości y
zmiennej losowej Y i oznaczamy E ( X | Y  y ) .
■ Twierdzenie. Niech X będzie całkowalną zmienną losową. Wtedy mX (Y )  E( X | Y )


p.w. Y 1( B( R)), P .
Stąd mamy
E ( X | Y  y )  E ( X | Y )( ) dla y  Y ( ) .
■ Dowód.
■ Uwaga. W związku z powyższym twierdzeniem własności warunkowej wartości
oczekiwanej E ( X | Y  y ) są analogiczne do własności E ( X | Y ) .
■ Definicja. Prawdopodobieństwa warunkowego.
1. Prawdopodobieństwem warunkowym P( A | ) zdarzenia A  B względem σ-podciała
  B nazywamy E( I A | ) .
2. Prawdopodobieństwem warunkowym P ( A | Y  y ) zdarzenia A  B względem ustalonej
wartości y zmiennej losowej Y nazywamy E( I A | Y  y) .
3. P X ( A | Y  y)  P( X 1( A) | Y  y)
■ Lemat.
Dla każdego B  B(R) zachodzi
P( A  Y 1( B))   P( A | Y  y)dPY ( y) .
B
Dowód.
■ Własności. Niech   B (R ) i B  B(R) .
1. Istnieje wersja P ( A | Y  y ) , która dla każdego y  R jest miarą probabilistyczną.
2. Jeśli P X ( A | Y  y)  P( X 1( A) | Y  y) , to istnieje wersja taka, że P X ( | Y  y) dla
każdego y  R jest miarą probabilistyczną.
■ Twierdzenie o gęstości rozkładu warunkowego.
Niech
1. Z  ( X , Y ) będzie wektorem losowym o wartościach z przestrzeni produktowej
WX WY , B(WX )  B(WY ),      , gdzie WX  B(R), WY  B(R) ,
2. istnieje gęstość f Z rozkładu zmiennej Z ze względu na miarę     , gdzie miary
μ i ν są σ-skończone odpowiednio na przestrzeniach WX , WY ,
3. fY ( y ) 
 f Z ( x, y)d ( x)  0
dla y WY .
WX
Wtedy rozkład warunkowy P X ( | Y  y)   i ma gęstość f ( x | y ) 
f Z ( x, y )
.
fY ( y )
■ Twierdzenie o warunkowej wartości oczekiwanej
Niech X będzie zmienną losową X : , B , P   ( X, BX ) i X  B (R ) .
Jeżeli g: X  R jest P X całkowalna, to
E ( g ( X ) | Y  y )   g ( x)dP X ( x | Y  y ) p.w. PY
X
■ Twierdzenie o zamianie miar w całce.
Niech w przestrzeni , B(),{ , } miara ν będzie absolutnie ciągła względem miary μ.
a. Jeżeli funkcja f jest gęstością miary ν względem miary μ , to
 g ( x)d ( x)   g ( x) f ( x)d ( x)
dla dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej g.
b. Funkcja g (niekoniecznie nieujemna) jest całkowalna względem miary ν wtedy i tylko
wtedy, gdy iloczyn gf jest całkowalny względem miary μ i wtedy
 g ( x)d ( x)   g ( x) f ( x)d ( x)
A
dla A  B () .
A
■ Wniosek . Na mocy powyższego twierdzenia możemy zapisać d  fd .