Wykład 5

Wykład V. Wybrane właściwości dielektryków
Wykład dotyczy izolatorów , czyli materiałów, które nie mają swobodnych nośników prądu.
Własności , które tu zostaną omówione wynikają z istnienia fononów.
I. Właściwości optyczne
Rozważmy wpływ fali elektromagnetycznej światła widzialnego i bliskiej podczerwieni na
kryształ izolatora. W materiale takim nie ma swobodnych nośników prądu , bierze się więc pod uwagę
tylko oddziaływanie pola elektromagnetycznego z ładunkami jonów sieci krystalicznej. Dla
uproszczenia załóżmy, podobnie jak w poprzednim wykładzie, że mamy do czynienia z kryształem, w
którym komórkę elementarną tworzą dwa jony A i B o ładunkach
 q.
Falę elektromagnetyczną można opisać funkcją:
E (k ,  )  E0  exp[ i(t  kx)]
(V.1)
gdzie E0 jest natężeniem pola elektrycznego a

częstością kołową fali. „k” – jest wektorem
falowym. „x” jest położeniem w krysztale.
rys (V.1) jony A i B są wychylane w przeciwnych kierunkach ponieważ mają przeciwne ładunki
A
B
A
B
E
k
☺
☻
☺
☻
☺
☻
u2s-1
u2s
u2s+1
u2s+2
u2s+3
M1
M2
M1
M2
M1
a
u2s-2
M2
Ponieważ jony różnią się ładunkiem pole elektryczne będzie je wychylać w przeciwnych kierunkach.
Mamy tu do czynienia z poprzecznym fononem optycznym (TO). Dla atomów A i B otrzymamy
następujące równania ruchu:
M1
M2
d 2 u 2 s 1
 C (u 2 s  2  u 2 s  2u 2 s 1 )  qE
dt 2
d 2u2s
 C (u 2 s 1  u 2 s 1  2u 2 s )  qE
dt 2
(V-2)
(V-3)
1
Podobnie jak dla sieci krystalicznej bez pola elektrycznego szukamy rozwiązań równań ruchu jonów
w postaci fal płaskich
u 2 s 1    exp{i[(2s  1)ka  t ]}
(V-4)
u 2 s    exp{i[2ska  t ]}
(V-5)
gdzie
 i  są amplitudami wychyleń jonów A i B. Wstawiając (V-4) i (V-4) do (V-2) i (V-3)
otrzymuje się następujący układ równań
[2C   2 M 1 ]  2C cos( ka)  qE 0
(V-6)
 2C cos( ka)  [2C   2 M 2 ]  qE 0
(V-7)
W równaniach tych wykorzystano zależność , że x=ma dla m tego jonu. Równania (V-6) i (V-7) mają
następujące rozwiązania:

 qE0 {2C[1  cos( ka)]   2 M 1 }
 qE0 {2C[1  cos( ka)]   2 M 1}

2
2
{( 2C   2 M 1 )( 2C   2 M 2 )  4C 2 cos 2 (ka)}
M 1 M 2 ( 2   TO
)( 2   TA
)
(V-8)
qE0 {2C[1  cos( ka)]   2 M 2 }
qE0 {2C[1  cos( ka)]   2 M 2 }


2
2
{( 2C   2 M 1 )( 2C   2 M 2 )  4C 2 cos 2 (ka)} M 1 M 2 ( 2   TO
)( 2   TA
)
(V-9)
gdzie
 TO =   i TA   
są częstościami poprzecznych fonów optycznych zdefiniowanymi przez
relację (IV-23).
Ponieważ długość fali światła ( kilka tysięcy Å) jest duża w porównaniu z pojedynczą komórką
elementarną możemy założyć, że charakteryzujący ją wektor falowy k 
cos(ka)=1 ( bo
2a

2

jest mały . Wówczas
 1 )oraz   =0. Po spełnieniu tych warunków równania (V-8) i (V-9) będą
miały postać

qE0
2
M 2 ( 2   TO
)
(V-10)

 qE0
2
M 1 ( 2   TO
)
(V-11)
Można wprowadzić pojęcie polaryzacji, P, zdefiniowanej jako moment dipolowy przypadający na
komórkę elementarną. Dla naszej komórki będzie to:
2
Pj  q(   ) 
q 2 E0
2
 ( TO
 2)
gdzie masa efektywna jonów,
(V-12)
 , zdefiniowana jest następująco:
W naszych uproszczonych rachunkach można przyjąć, że wielkość
1

1
1

M1 M 2


q2
jest zależną
2
 ( TO
 2)
od częstotliwości podatnością dielektryczną. Wprowadza się pojęcie indukcji dielektrycznej D
D  E  4 ( Pe  Pj )
(V-13)
które odpowiada natężeniu pola elektrycznego wewnątrz kryształu. We wzorze (V-13) P j jest
polaryzacją jonową daną wzorem (V-12),
Pe jest polaryzacją elektronową, wynikającą z przesunięć
ładunków chmury elektronowej i jądra w pojedynczych atomach.
Równania (V-12) i (V-13) pozwalają na analizę zależności stałej dielektrycznej ( tak na
prawdę to jest funkcja dielektryczna) a co za tym idzie współczynnika załamania od częstości
padającego promieniowania. Definiując stałą ( funkcję ) dielektryczną
do natężenia pola elektrycznego ,  

jako stosunek indukcji
D
otrzymamy    el  4 , gdzie  el jest stałą
E
dielektryczną wynikającą z polaryzacji pojedynczych jonów ,
Pe . Korzystając z definicji podatności
otrzymamy:
4q 2
.
 ( )   el 
2
 ( TO
 2)
(v-14)
Z równania ( V- 14) widać ,że gdy częstość fali elektromagnetycznej rośnie to funkcja dielektryczna
dąży do
 ()   el .  el
często nazywa się ją elektronową stałą dielektryczną. Z drugiej strony,
gdy mamy do czynienia ze stałym polem elektrycznym funkcja dielektryczna osiąga wartość
 (0)   () 
4q 2
2
 TO
.
 ( 0)
nazywa się często całkowitą stałą dielektryczną .
Zależność (V-14) przedstawiono na rysunku V-2
3
Rys V-2 . Funkcja
dielektryczna
Łatwo zauważyć, że funkcja dielektryczna ma wartość ujemną dla częstości w przedziale
 TO     0 ,
 0  {
2
TO
gdzie
4q 2 1 / 2

}   LO
 ( ) 
(V-15)
jest częstością, przy której stała dielektryczna osiąga wartość zerową. Można dowieść, że jest to
częstość podłużnych fononów optycznych. Z zależności ( V- 15) wynika następująca relacja
pomiędzy stałymi dielektrycznymi a częstościami odpowiednich fononów:
2
 (0)  LO
 2
 ()  TO
( V-16)
Można napisać równanie różniczkowe opisujące rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w
krysztale ( równanie falowe) w postaci:
[
1  2 D(t , x)  2 E (t , x)

]0
c2
t 2
x 2
(V-16)
gdzie c jest prędkością światła w próżni. Podstawiając do równania (V-16) za indukcję dielektryczną
D  D0 exp{i[t  kx]} i za natężenie pola elektrycznego E  E0 exp{i[t  kx]} oraz
wykonując różniczkowanie otrzymamy następującą zależność dyspersyjną czyli zależność częstości
fali elektromagnetycznej od wektora falowego:
4
c
k
 ( )

gdzie


(V-17)
jest funkcją dielektryczną daną wzorem (V-14). Wielkość
c
c

 ( ) n( )
(V-18)
jest prędkością rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w danym ośrodku , zaś
n( )   ( )
jest funkcją współczynnika załamania światła danego ośrodka. Zależność współczynnika załamania
światła od częstości fali elektromagnetycznej jest odpowiedzialna za rozszczepienie światła w
pryzmacie.
Korzystając z relacji (V-18) można wykazać, że po przejściu drogi  w danym ośrodku
faza fali ulegnie przesunięciu o kąt
  (n  1)

. W wyniku czego natężenie fali
c
elektronmagnetycznej po przejściu prze ośrodek będzie dane przez:

E ()  E 0 exp{ i (n  1) }  exp{i[t  kx]}
c
(V-19)
Współczynnik załamania jest pierwiastkiem ze stałej dielektrycznej. Jeśli funkcja dielektryczna
przyjmowałaby wartości ujemne współczynnik załamania byłby urojony. W rzeczywistości funkcja
dielektryczna jest funkcją ciągła. Widać to kiedy uwzględni się efekt tłumienia fali
elektromagnetycznej przez drgania sieci krystalicznej. Po uwzględnieniu tłumienia równanie (V-14)
przyjmuje postać funkcji zespolonej :
 ( )   el 
w którym
4q 2
2
 ( TO
  2  i )
(V-20).
 jest stałą tłumienia.
Zespolona funkcja dielektryczna powoduje pojawienie się urojonej składowej funkcji
współczynnika załamania. Zakładając, że n=n’+in’’ otrzymujemy następująca postać równania (V-19)
E ()  E 0 exp( n' '


) exp{ i (n'1) }  exp{i[t  kx]}
c
c
(V-21)
Pierwszy czynnik w równości (V-21) jest odpowiedzialny za tłumienie fali elektromagnetycznej (
absorpcję fotonów). Wielkość

n' '
często nazywa się współczynnikiem absorpcji. Efekty ten
c
powoduje ,że fale elektromagnetyczne częstościach pomiędzy
 TO i  LO
nie mogą rozchodzić się
w krysztale. W różnych kryształach będzie to różny zakres energii. W praktyce energie fononów
5
optycznych mieszczą się na ogół w granicach 200 do 2000 cm-1 . Dla fal elektromagnetycznych
odpowiada to falom o długościach 50000 do 5000 nm . Jest to więc daleka podczerwień.
Pojęcie polaritonu.
Problem rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w krysztale można odwrócić . Zamiast pytać jak
wpływa fala elektromagnetyczna na kryształ można zapytać jak kryształ wpływa na falę
elektromagnetyczną. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że fala elektromagnetyczna światła
widzialnego pobudza do drgań jony kryształu. Oddziaływanie tego typu prowadzi do powstawania w
krysztale modów mieszanych będących kombinacją drgań mechanicznych i elektromagnetycznych .
Sytuację można przedstawić posługując się zależnościami dyspersyjnymi . Dla fotonów ( fal
elektromagnetycznych rozchodzących się w krysztale, w zależności od częstości otrzymuje się dla
wysokich częstości :

c

k
(V-22)
i dla niskich częstości

gdzie
c
0
k
 i 0
(V-23)
są odpowiednimi stałymi dielektrycznymi a c jest prędkością światła w próżni. Z kolei
krzywe dyspersji dla poszczególnych fononów dane są przez relację (IV-19). Rozpatrując tylko fonony
optyczne o małych wektorach falowych (z początku strefy Brillouina) otrzymamy dla podłużnych i
poprzecznych fononów stałe, niezależne od wektora falowego częstości
 LO i  TO .
Krzywe
dyspersji dla modów sprężonych, fotonowo- fononowych przedstawione są na rysunku V-3. Mody
takie nazywamy polaritonami
6
ω
ω
kc
ε
kc
ε0
Rys. V-3 Zależności dyspersyjne polaritonów.
Dla małych wartości wektora falowego
krysztale z prędkością
kc /  TO  2 obserwujemy fotony rozchodzące się w
v  c /   ( dolna gałąź) i podłużne fonony optyczne (górna gałąź). Dla
kc /  TO  6 obserwujemy poprzeczne fonony optyczne i fotony poruszające się z
prędkością v
pomiędzy
 c /  0 . Widać , że jak wspomniano w poprzednim paragrafie, fotony o częstościach
 LO i  TO
nie mogą istnieć.
Efekt Ramana :
Innym przykładem oddziaływania fali elektromagnetycznej z fononami sieci krystalicznej jest efekt
Rmana. Efekt ten pojawia się gdy foton oddziaływując z fononami w sieci krystalicznej oddaje
część swojej energii kreując fonon lub pochłania energię istniejącego w krysztale fononu . W
rezultacie takich procesów w widmie światła rozproszonego pojawiają się oprócz fotonów o
niezmienionej energii fotony o energii mniejszej i większej o energię oddziaływujących z nimi
fononów. Istnieją dwa modele wyjaśniające zjawisko Ramana model klasyczny i model kwantowy.
Obecnie przedstawimy zostanie model klasyczny.
7
Jak to dyskutowano w poprzednim paragrafie padająca fala elektromagnetyczna opisana relacją (V1) powodować będzie polaryzację ośrodka. Polaryzacja jonowa, P j, opisana jest relacją (V-12). Dla
bieżących potrzeb przedstawimy tę relację następująco:
Pj  E
gdzie
(V-24)
 podatnością dielektryczną. W poprzednim paragrafie zakładano, że to właśnie fala
elektromagnetyczna może pobudzać drgania sieci. Przy takim założeniu , jak to wykazano poprzednio
podatność nie zleży od wychyleń jonów. Rozważmy jednak co stanie się , jeśli oprócz fali
elektromagnetycznej istnieją w krysztale niezależne oscylacje sieci. Oscylacje te poprzez drgania
jonów wytworzą dodatkową polaryzację. Efekt ten można opisać zakładając, że podatność
dielektryczna składa się z dwóch części : składowej stałej i składowej indukowanej przez istniejące w
krysztale drgania sieci. Daje to następującą relacje:
  0 
d
d 1
u  cos( font )   0 
u  {exp[ i font ]  exp[ i font ]}
du
du 2
(V-25)
Zakładając, że natężenie pola elektrycznego fali elektromagnetycznej jest dane przez relację
E  E0 exp[ i 0 t ]
(26)
otrzymamy następującą relację na polaryzację P
P   0 E 0 exp[ i 0  t ] 
1 d
1 d
uE0  exp[ i ( 0   fon )t ] 
u  E0 exp[ i ( 0   fon )t ]}
2 du
2 du
(-27)
Z relacji (V-27) widać ,że oprócz fali o częstości
0
pojawiają się fale elektromagnetyczne
elektryczne o częstościach ( 0   fon ) i ( 0   fon ) , których natężenia są wprost
proporcjonalne do pochodnej podatności dielektrycznej
d
.
du
Model kwantowy może być zilustrowany przy pomocy rysunku (V-4)
8
E+  fon
Rys (V-4) Efekt Ramana
e
E
E-  fon
g
Zakłada się ,że rozproszenie światła polega na jego absorpcji do wirtualnego stanu wzbudzonego ,
oznaczonego jako e i następnie natychmiastowej emisji do stanu podstawowego. Ponieważ emisja jest
natychmiastowa , zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga energia stanu może być dowolna.
Istniejące w krysztale pole fononów może powodować ,że układ będąc w stanie wzbudzonym
zaabsorbuje lub wyemituje fonon o energii  fon . Na skutek tych procesów znajdzie się w stanie
E+  fon lub E-  fon . Ostatecznie powracając do stanu podstawowego układ może emitować 3
różne fotony o energiach odpowiednio
 fot = E,  fot = E+  fon lub  fot = E-  fon .
Pierwsza energia jest energią rezonansową ( tzw. linia Rayleigh’a ) .Foton o energii mniejszej daje
linię Stokes’a. Foton o energii większej niż E daje linię antystokesowską.
ształu.
9