I - zadania dodatkowe

1
I - zadania dodatkowe kl.1
1. Wyznacz x , y , z , jeżeli :
A. 1 – x = y – x y – 4
, x,yC
/ Odp. 5 par liczb /
2
2
B. x – 12 = z + 12 , x, z  C
C. x 2 – 30 y 2 = 1
, x , y liczby pierwsze .
/ odp. 11 , 2 /
1 1
1
D.   1 
rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych
/ Odp. ( 2,3),(3,2)/
x y
xy
E. 4y2 – 1 = 4 x 2 + 3 rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych .
F. x 2 – y 2 + 9 = 4 x
rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych .
2. Dla jakich wartości x wyrażenie przyjmuje wartość najmniejszą i ile ona wynosi :
A. | x – 1 | + | 2 – x |
/ Odp. 1 dla x  <1,2)/
B. 2 | x | - | x – 1 | + x 2  6 x  9
/ odp. 2 dla x = 0 /
2
3. Dowieść , że liczba postaci : l n  n  n  9 nie jest podzielna przez 49 .
 R spełnia warunek podany niżej , wyznacz wzór funkcji f :
4. Funkcja f : R 
/ Odp. f(x)=3x – 1 /
A. f ( x + 2 ) = 3x + 5
x 1
1
1
) x2
B. f (
3
3
3
/ f(x)= - x + 2 /
2 x  6 dla
/ f ( x)  
2 x  2 dla
C. f ( | x – 1 | ) = 2 x – 4
 R spełnia warunki :
5. Funkcja f : R 
x 1
x 1
10 f(x+y)=f(x)+f(y),
1
1
20 f ( ) 
2
2
1
Oblicz f ( )
4
6. Liczba całkowita m daje przy dzieleniu przez 5 oraz przez 7 resztę 1 . Jaką resztę daje liczba m przy
dzieleniu przez 35 ?
/Odp.1 /
7. Udowodnić , że liczba postaci
każdego naturalnego n .
l n  3n2  2 n2  3n  2 n
, jest wielokrotnością liczby 10 dla
8. Suma cyfr liczby dwucyfrowej należy do zbioru rozwiązań nierówności : | t – 8 | - 1 < 0 . Jeżeli w tej
liczbie przestawimy cyfry , to stosunek otrzymanej liczby do liczby początkowej będzie wynosił 5 : 6
. jakie to liczby ?
/ Odp. 45 i 54 /
9. Znaleźć taką najmniejszą liczbę naturalną n aby liczby postaci : n + 1 , n – 110 były kwadratami
liczb naturalnych .
/ 399/
10. Obliczyć :
1
1
1
1
1
A.
Odp. 2005  1


 ... 

1 2
2 3
3 4
2003  2004
2004  2005
1
1
1
1
B.
/0dp.  1000 /


 ... 
1
1 2
2 3
999  1000
11. Rozwiązać równanie :
12. Wykazać , że :
3
1
2 1

1
3 2
9  80  3 9  80  3

1
4 3
 ... 
1
x 1  x
 10
/Odp.120/
2
13. Obliczyć :
A.
B.
C.
D.
3
5 2 3
52
Odp.1
3
75 2 3 5 2 7
3
94 5 3 94 5
125 0,666666666.......... ..
E.
F.
25
0 , 75
 625
0 , 25
  32

 0,2  25 0,5  =





2
1
1

1 2
1 2






G.  4  7 2    4  7 2 


  =



 


H.
I. a  9  4 5  14  6 5 oraz
Odp. a = b
b  7  4 3  12  6 3
porównaj a i b
14. Dowieść , że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych nie dzielących się przez 3 jest podzielna
przez 3 .
15. Obliczyć sumę :
1
1
1
1


 ... 
1 2 2  3 3  4
1994  1995
1
1
1
Wykorzystaj równość : nn  1  n  n  1
/ Odp.
1994
/
1995
n3  n 2  2
16. Dla jakich n  C ułamek :
jest liczbą całkowita ? / Odp. { - 1 . 0 , 2 } /
n 1
17. Dowieść , że x 2 – 1998 = y 2 nie ma rozwiązań całkowitych .
18. Wykazać , że liczby są wymierne :
A.
28 5  69  69  28 5
/ Odp. 14 /
B.
18  8 2  6  4 2
/ Odp. 2 /
C.
19  8 3  7  4 3
/ Odp. 2 /
19. Czy liczba postaci :
4 7  4 7  2
jest wymierna ? / odp.0/
20. Która z liczb jest większa :
l=
5555555553
5555555557
czy
k
6666666664
? Odp. l > k
6666666669
3