Wykład 2
Ciągi w przestrzeniach metrycznych.
Ciągi zbieżne i ciągi Cauchy’ego.
Ciągiem punktów w przestrzeni metrycznej X , nazywamy, jak zwykle w matematyce, dowolną funkcję
n xn określoną na zbiorze liczb naturalnych N o wartościach w przestrzeni X , którą standardowo
będziemy oznaczali symbolem xn (wymiennie stosuje się także oznaczenia xn n1 , xn lub xn n1 ).
Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu xn są z przestrzeni X , tj. jeśli xn X dla wszystkich n N , to fakt ten
będziemy krótko oznaczali w następujący sposób: xn X .
Podciągiem ciągu xn nazywamy ciąg xnk X , gdzie nk jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb
naturalnych.
W dalszym ciągu wykładu wykorzystywać będziemy następującą własność ciągu nk a mianowicie:
(*)
kN
nk k .
Dla k 1 nierówność jest oczywista. Zakładając, że nierówność zachodzi dla dowolnie ustalonego k N ,
dla k 1 dostajemy nk 1 nk k , skąd nk 1 k 1 . Warunek (*) wynika zatem z zasady indukcji
matematycznej.
Niech od tej pory, o ile nie założymy inaczej, X , oznacza dowolną przestrzeń metryczną.
Definicja 14 (ciągu zbieżnego)
Powiemy, że ciąg xn X jest zbieżny, dokładniej zbieżny w przestrzeni X , gdy istnieje punkt x X taki, że
lim xn , x 0 ,
n
lub równoważnie
0
n0N
nn0
xn , x .
Fakt zbieżności ciągu xn do punktu x będziemy oznaczali następująco:
lim xn x lub xn x .
n
Jeśli nie istnieje punkt x X spełniający powyższy warunek, to ciąg xn nazwiemy ciągiem rozbieżnym.
Przykład 15 (ciągu zbieżnego i rozbieżnego)
Zauważmy, że zbieżność ciągu zależy nie tylko postaci ciągu ale i od przestrzeni, w której położone są wyrazy
1
ciągu. Np., ciąg jest zbieżny w przestrzeni metrycznej R, , lecz nie jest zbieżny w przestrzeni
n
metrycznej 0,1, .
Definicja 16 (ciągu ograniczonego i nieograniczonego)
1
Powiemy, że ciąg xn X jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości xn : n N jest ograniczony, tj. gdy
diamxn : n N . Ponadto powiemy, że ciąg xn jest nieograniczony, jeśli nie jest ograniczony.
Twierdzenie 17 (własności ciągu)
Niech xn będzie dowolnym ciągiem punktów przestrzeni X . Zachodzą następujące warunki:
(a) Ciąg xn jest zbieżny do punktu x X , wtedy i tylko wtedy, gdy każda kula otwarta o środku w punkcie x
zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu xn , tj. wszystkie, poza co najwyżej skończoną ich ilością.
(b) Ciąg xn ma co najwyżej jedną granicę.
(c) Jeśli xn x , dla n n0 , tj. jeśli ciąg xn jest stały od pewnego miejsca, to lim xn x .
n
(d) Jeśli ciąg xn jest zbieżny do x X , to każdy jego podciąg xnk też jest zbieżny do x .
(e) Jeśli ciąg xn jest zbieżny, to jest ograniczony.
zbieżny do punktu x X , to sam ciąg x też
(f) Jeśli każdy podciąg xnk ciągu xn posiada podciąg xnk
n
l
jest zbieżny do x .
Dowód
(a) Załóżmy najpierw, że ciąg xn jest zbieżny do punktu x . Weźmy dowolne r 0 . Pokażemy, że prawie
wszystkie wyrazy ciągu xn leżą w kuli K x, r . Biorąc r , wobec definicji 14, znajdziemy takie n0 N ,
że dla wszystkich n n0 : xn , x lub równoważnie xn K x, r . Oznacza to, że poza kulą K x, r
pozostaje, co najwyżej n0 1 wyrazów ciągu xn : x1, x2 ,...,xn0 1 – czyli skończona ich ilość.
Załóżmy na odwrót, tj. że w każdej kuli otwartej o środku x leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu xn . Weźmy
0 i rozważmy kulę K x, . Istnieje n0 N takie, że dla wszystkich n n0 wyrazy xn leżą w kuli K x, .
To oznacza, że xn , x dla n n0 , co wobec definicji 14 oznacza, że lim xn x .
n
(b) Przypuśćmy, że lim xn x i lim xn y i x, y X . Weźmy dowolną liczbę 0 . Ponieważ lim xn x , to
n
n
n
znajdziemy n1 N takie, że dla n n1 : xn , x
dla n n2 : xn , y
2
2
, a ponieważ lim xn y , to znajdziemy n2 N takie, że
n
. Wówczas dla n n0 max n1 , n2 , wobec nierówności trójkąta dla dostajemy
x, y x, xn xn , y
2
2
.
Z dowolności 0 mamy zatem x, y 0 , skąd x, y 0 , tj. x y .
(c) Weźmy dowolną liczbę 0 . Przyjmując n0 takie jak w założeniu i biorąc dowolne n n0 dostajemy
xn , x x, x 0 .
A zatem
lim xn x .
n
2
będzie dowolnym podciągiem ciągu
xn .
(d) Niech xnk
Ponieważ ciąg xn jest zbieżny do x , to biorąc
dowolne 0 , znajdziemy n0 N takie, że dla n n0
xn , x .
(*)
Biorąc teraz dowolną liczbę naturalną k n0 , wobec tego, że nk n0 i (*) dostajemy
xnk , x ,
a to oznacza, że lim xnk x .
k
(e) Załóżmy, że ciąg xn jest zbieżny do x X . Biorąc 1 znajdziemy liczbę naturalną n0 taką, że
xn , x 1
dla n n0 . Kładąc r x1 , x x2 , x ... xn0 1 , x 1 widzimy, że
xn : n N K x, r ,
co wobec twierdzenia 11 i definicji 16 daje ograniczoność ciągu xn .
(f) Przypuśćmy, że ciąg xn nie jest zbieżny do punktu x . Zgodnie z definicją 14
0
n0N
nn0
xn , x .
Weźmy n0 1 . Znajdziemy n1 n0 takie, że xn1 , x . Weźmy n1 1 . Znajdziemy n2 n1 takie, że
xn2 , x . Weźmy n2 1 . Znajdziemy n3 n2 takie, że xn3 , x . Kontynuując, łatwo już widać jak
skonstruować rosnący ciąg nk liczb naturalnych taki, że xnk , x , k N . Nierówność ta jednak pokazuje,
że z ciągu xnk nie da się wybrać żadnego podciągu zbieżnego do x , a to przeczy założeniu.
Definicja 18 (ciągu Cauchy’ego)
Powiemy, że ciąg xn X jest ciągiem Cauchy’ego (lub, że spełnia warunek Cauchy’ego) jeśli
0
n0N
m,nn0
xm , xn .
Twierdzenie 19
Jeżeli ciąg xn X jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód
Niech x X będzie taki, że lim xn x . Biorąc dowolną liczbę 0 , znajdziemy liczbę naturalną n0 taką, że
n
dla m, n n0 zachodzą następujące nierówności
xm , x
2
i xn , x
2
.
Z nierówności trójkąta dla dostajemy teraz dla m, n n0
xm , xn xm , x x, xn
co pokazuje, że ciąg xn spełnia warunek Cauchy’ego.
2
2
,
3
Implikacji w powyższym twierdzeniu nie da się odwrócić, tj. nie każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny. Pokazuje
to poniższy przykład.
Przykład 20 (ciągu Cauchy’ego który nie jest zbieżny)
Rozważmy w przestrzeni metrycznej
0,1,
1
ciąg . Pokażemy najpierw, że ciąg ten spełnia warunek
n
2
Cauchy’ego. Weźmy dowolną liczbę 0 . Kładąc n0 1 i biorąc dowolne m, n n0 dostajemy
1 1
1 1 1 1
2
2
2
,
2
m n m n n0 n0 n0 2
1
co pokazuje, że ciąg xn jest ciągiem Cauchy’ego.
1
Pokażemy teraz, że ciąg nie jest zbieżny w przestrzeni 0,1 . Wobec definicji 14 wystarczy pokazać, że
n
x0,1
ε 0
n0N
Biorąc dowolny x 0,1 i n0 N oraz przyjmując
1
1
x x x
n
n
1
x .
n
nn0
x
2
i n n0 dostajemy
2
x
1
1
1 x
x
x .
2 2
2
2
n0
1
x
x
x
1
w przestrzeni 0,1 nie istnieje.
n n
Oznacza to, że lim
Chociaż ciąg Cauchy’ego sam w sobie nie musi być zbieżny, to jednak, jeśli posiada podciąg zbieżny, to jest
już zbieżny. Pokazuje to poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 21
Jeżeli ciąg xn X spełnia warunek Cauchy’ego i posiada podciąg zbieżny, to jest zbieżny.
Dowód
będzie podciągiem ciągu
Niech 0 będzie dowolną liczbą. Niech xnk
xn
zbieżnym do x X . Istnieje
liczba k1 N taka, że dla k k1
(*)
xnk , x
2
.
Ponieważ ciąg xn spełnia warunek Cauchy’ego, to istnieje liczba k2 N taka, że dla m, n k2
(**)
xm , xn
2
.
Kładąc k0 max{ k1 , k2 } i biorąc dowolne n k0 , na mocy (*) i (**) i nierówności trójkąta dla dostajemy
4
xn , x xn , xnk xnk , x
0
0
2
2
.
A zatem ciąg xn jest zbieżny do punktu x .
Podamy teraz, bez dowodu, jeszcze jedno bardzo ważne w zastosowaniach twierdzenie.
Twierdzenie 22 (Bolzano-Weierstrassa)
Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni metrycznej euklidesowej Rk posiada podciąg zbieżny.
Konsekwencją tego twierdzenia jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 23
W przestrzeni metrycznej euklidesowej Rk każdy ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny.
Dowód
Niech x n będzie dowolnym ciągiem punktów przestrzeni Rk spełniającym warunek Cauchy’ego. Pokażemy
najpierw, że ciąg ten jest ograniczony. Biorąc 1 istnieje liczba naturalna n0 taka, że dla n n0 mamy
e x n , x n0 1 . Kładąc r x1 , xn0 x2 , xn0 ... xn0 1 , xn0 1 widzimy, że
xn : n N K xn , r ,
0
co wobec twierdzenia 11 i definicji 16 oznacza ograniczoność ciągu x n .
Korzystając z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa (zob. twierdzenie 22) z ciągu x n możemy wybrać podciąg
zbieżny xnk . Ciąg Cauchy’ego x n posiada więc podciąg zbieżny, a to na mocy twierdzenia 21 oznacza
również zbieżność ciągu x n .
Wniosek 24
Niech x n będzie dowolnym ciągiem punktów przestrzeni euklidesowej Rk . Ciąg x n jest zbieżny wtedy i
tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód
Wynika z twierdzeń 19 i 23.
5
