wyklad5-Symetrie

Symetrie
 Symetrie a prawa zachowania
 Spin
 Parzystość
 Spin izotopowy
 Multiplety hadronowe
 Niezachowanie parzystości w oddz. słabych
 Sprzężenie ładunkowe C
 Symetria CP
 Zależność spinowa oddziaływań słabych
 Zestawienie praw zachowania
D. Kiełczewska, wykład 5
1
Symetrie i prawa zachowania
Twierdzenie Noether: prawa zachowania wynikają z symetrii teorii.
Albo: niezmienniczość hamiltonianu względem jakiejś transformacji
implikuje zachowanie wielkości stowarzyszonej z tą transformacją.
Symetria:
Zachowana wielkość
przesunięcie w czasie
energia
przesunięcie w przestrzeni
pęd
obrót
moment pędu
odbicie w przestrzeni
parzystość
transformacja cechowania
zachowanie ładunku elektr.
D. Kiełczewska, wykład 5
2
Niezmienniczosc względem rotacji
Niezmienniczość względem rotacji
(wszelkie kierunki w przestrzeni sa nierozróżnialne)
Â:
Np.
jeśli na jakimś
xi ® xi* = xi cos J - yi sin J
systemie
yi ® yi* = xi sin J + yi cos J
dokonamy rotacji:
zi ® zi* = zi
zachowanie momentu pedu
i okazuje się, że:
Ĥ(x1, x2 ,...) = Ĥ(x1* , x2* ,...)
albo: éÂ, Ĥ ù = 0
ë
û
to można pokazać, że: é Jˆ , Ĥ ù = 0 dla całkowitego moment pędu:
êë
úû
Z takim systemem można skojarzyć liczbę kwantową: J
J
a składowa mJ może przyjmować 2J+1 wartości: J, J-1,...........-J
Niezmienniczość względem rotacjom mają układy izolowane, zamknięte
(nie działają żadne siły zewnętrzne) oraz układy z pojedynczą
bezspinową cząstką w potencjale centralnym:
1
Ĥ = -
D. Kiełczewska, wykład 5
2m
Ñ̂2 + V ( r )
3
Spin i moment orbitalny
Spin to całkowity moment pędu cząstki w jej układzie spoczynkowym.
Wezmy spin deuteronu s=1.
Bierze sie on z dodawania spinów protonu (ustawionych równolegle)
i neutronu oraz orbitalnego L=0.
2s+1
s=1 J=1
L = 3S
J
1
Wynikiem tego jest moment mgt deuteronu:
d   p  n   2,793  1,913  j  0,880 j
Jądrowy magneton
j 
Z pomiarów: d  0,857  j
Różnica bierze się stąd, że jest domieszka stanu L=2
( L nie jest dobrą liczbą kwantową)
3
e
2M p
D1
Spiny (anty)kwarków s=1/2
Spiny mezonów:
s=0
s=1
spiny (anty)barionów
D. Kiełczewska, wykład 5
s=
1
2
s=
3
2
4
niekoniecznie
Spin
Dla cząstek ze spinem S:
J LS
 Jˆ , Hˆ   0


 Lˆ , Hˆ     Sˆ , Hˆ   0




Na ogół oddzielnie moment orbitalny i spin nie są zachowane z powodu
istnienia sił zależnych od spinu.
Często jest dobrym przybliżeniem:
 Lˆ2 , Hˆ    Sˆ 2 , Hˆ   0


 
Często oddz. odwracają kierunek
spinu, ale nie jego wartość.
D. Kiełczewska, wykład 5
5
Transformacja parzystości
P̂y (x,t) = Pay (-x,t)
P̂
Operator odbicia przestrzennego (zwierciadlanego):
Gdy powtórzymy operację:
P̂2y (x,t) = Pa2y (x,t) Þ Pa =+1,-1
Dla cząstki w spoczynku: Pa jest wartością własną operatora
parzystości – mówimy, ze jest to parzystość wewnętrzna cząstki.
Transformacja
P̂ powoduje:
r Þ -r
t Þt
v  v
wektory
J J
pseudowektory (np.spin)
a stąd:
p Þ -p
r ´ pÞr ´ p
np. w rozpadzie
beta jądra 60Co
60
e
Co
P
D. Kiełczewska, wykład 5
e

60
6
Co
Parzystości cząstek
Parzystość układu 2 cząstek a,b ze względnym orbitalnym
momentem pędu L:
P = Pa Pb (-1) L

Fermiony są zawsze produkowane parami np:
w efekcie można zdefiniować tylko
ich względne parzystości.
ee+
Zgodnie z r-niem Diraca parzystości cząstek i antycząstek są
przeciwne : P P  1
Konwencja: P  1, P  1
f
f
f
Konsekwentnie parzystość mezonów
i podobnie barionów:
f
Pmeson  Pq Pq (1)L  (1) L1
PB  Pa Pb Pc (1) L12 (1) L3  (1) L12  L3   PB
D. Kiełczewska, wykład 5
7
Parzystości cząstek
Najlżejsze mezony i bariony mają kwarki z mom. orb. L=0.
L
L 1
Parzystość mezonów: Pmeson  Pq Pq (1)  (1)
Np. mezony π i K mają S=0 L=0:
J p  0
A mezony:  , , K * mają S=1 L=0:
Parzystość barionów:
tzw. mezony pseudoskalarne
J p  1 tzw. mezony wektorowe
PB  Pa Pb Pc (1) L12 (1) L3  (1) L12  L3   PB

1
1
Np. oktet barionowy (m.in. proton) ma: J 
a antyproton: J p 
2
2


3
3
Dekuplet barionowy : J p 
a dekuplet antybarionów: J p 
2
2

p
Można pokazać, że dla fotonu P =-1
D. Kiełczewska, wykład 5
8
Symetria izospinowa
Obserwacja: multiplety cząstek o podobnych masach
p(938) = uud
n(940)=udd
p - (140) = du
p 0 (135) = (uu,dd )
Masy (prawie) równe
p + (140) = du
w nawiasach masy
w MeV
symetria izospinowa
nieznacznie łamana przez oddz. elmgt.
Przez analogię ze zwykłym spinem wprowadzono liczbę kwantową I,
która daje liczebność multipletu: 2I+1, oraz I3=I, I-1,.......-I
Np:
cząstka nukleon ma I=1/2 i wystepuje w 2 stanach: I3=-1/2, +1/2
cząstka π ma I=1 i występuje w 3 stanach: I3=-1, 0, +1
D. Kiełczewska, wykład 5
9
W poszukiwaniu symetrii:
multiplety hadronowe
Dalej stosujemy oznaczenie
J na spin, żeby uniknąć
konfuzji z dziwnością S
Np. najlżejsze bariony o spinie J i parzystości p: Jp=½+ tworzą oktet:
0
-1
-2
S – dziwność {dla kwarka s S=-1}
I3 - trzecia składowa
izospinu
Obserwacja tej symetrii doprowadziła
do hipotezy kwarków:
M. Gell-Mann i G. Zweig, 1964
D. Kiełczewska, wykład 5
10
Bariony - dekuplet
3
dekuplet barionów o spinie J P =
2
3 kwarki o spinach
równoległych, L=0,
czyli funkcja
symetryczna dla
fermionów !??
potrzebna nowa
liczba kwantowa:
kolor
D. Kiełczewska, wykład 5
+
cząstka przewidziana
11
przez model a później
zaobserwowana
Mezony pseudoskalarne
uu

2
1
0 

uu

6
 dd  2 ss
uu

3
 dd  ss
 
1
' 
1
L=0
 dd


J(spin)=0
Pmeson = Pq Pq (-1) L = (-1) L+1 = -1
D. Kiełczewska, wykład 5
12
Mezony wektorowe
uu

2
 dd

uu

2
 dd

0 
1
0 
1
  ss
L=0
J(spin)=1
Pmeson = Pq Pq (-1) L = (-1) L+1 = -1
D. Kiełczewska, wykład 5
13
Multiplety hadronowe c.d.
Dla cięższych hadronów wygodnie jest
wprowadzić
hiperładunek Y:
Y  B  S C  B T
'
Y
I3  Q 
2
B – liczba barionowa
Q- ładunek elektryczny
-S – liczba kwarków s netto
(dziwność)
C – liczba kwarków c netto
-B’ – liczba kwarków b netto
T – liczba kwarków t netto
I - izospin
Dla najlżejszych hadronów: C=B’=T=0
D. Kiełczewska, wykład 5
14
Multiplety hadronowe
Dla 4 kwarków:
u,d,s,c
D. Kiełczewska, wykład 5
15
Zachowanie parzystości
Opis oddz. elmgt i silnych nie zmienia się po odwróceniu
wszystkich współrzędnych przestrzennych, czyli te oddz.
zachowują parzystość.
Natomiast doświadczenia pokazały, że oddz. słabe nie
zachowują parzystości.
Stwierdzili to w 1956 Lee i Young na podstawie danych
doświadczalnych.
Potem potwierdzono w doświadczeniu Wu badając rozpad:
Co  60 Ni*  e   e
60
D. Kiełczewska, wykład 5
16
Asymetria lewo-prawo
w oddziaływaniach słabych.
D. Kiełczewska, wykład 5
17
Doświadczenie Wu et al. (1957)
Badano rozpad:
Co  60 Ni*  e   e

e
Transformacja P:
60
Co
60
P
e
60
Co
Gdyby parzystość była
zachowana prawd. emisji
elektronów do przodu i do tyłu
względem spinu jądra byłoby
takie samo.
Jądra kobaltu były
spolaryzowane:
umieszczone w polu mgt, które
ustawiało momenty mgt. jąder
(a więc i spiny) zgodnie z
kierunkiem pola (przez kilka
minut).
Obserwowano więcej elektronów
w kierunku przeciwnym do pola.
D. Kiełczewska, wykład 5
18
Doświadczenie Wu et al. (1957) (c.d.)
Obserwowano rozkład kątowy elektronów:
f (J ) = const(1+ a
s×p
E
sCo
gdzie s =
sCo
z
) = const(1+ a
Co  60 Ni*  e   e
60
V
cos J )
c
Zmierzono: A =
f (0) - f (p )
V
=f (0) + f (p )
c
a = -1
Z zachowania składowej z momentu pędu układu:
60
Co
sz = 5
60
Ni*
sz = 4

e
e
sz  1

sCo
s
= e
sCo
se

e
60
Co
p
J = (se , pe )
Preferowane spiny se elektronów
przeciwne do kierunku ich pędu.
D. Kiełczewska, wykład 5
19
Skrętność
(helicity)
Skrętność
sp
H
s p
czyli skrętność to znak rzutu spinu na
kierunek ruchu cząstki.
Zgodnie z r-niem Diraca dla cząstek bezmasowych
(albo ultrarelatywistycznych)
H=-1
H=+1
H  1
stany lewoskrętne LH np: eL
stany prawoskrętne RH np: eR
czyli w eksperymencie Wu et al.
zaobserwowano, że bardziej
prawdopodobna jest produkcja stanów
LH elektronów.
D. Kiełczewska, wykład 5
20
Sprzężenie ładunkowe C
Transformacja C zamienia cząstki w antycząstki.
Czyli np. zamienia rozpad
w rozpad:
   e   e   
   e   e   
Rozkłady kątowe elektronów (pozytonów) mają postać (w cms mionu):
f ± (J ) = const(1+
a±
3
cos J )
Gdyby obowiązywała niezmienniczość C to:
  
Tymczasem z pomiarów:       1,00  0,04
preferowane:
eL , eR
C nie jest zachowane
D. Kiełczewska, wykład 5
21
Rozpady spolaryzowanych mionów c.d.
Analizujemy rozpady
mionu w spoczynku :
   e   e   
O rozkładach kątowych:
f ± (J ) = const(1+
Transformacja parzystości P:



e
P
e
Miony z rozpadów:    
są naturalnie spolaryzowane
   e   e   
 
a±
3
cos J )
      1,00  0,04
Czyli gdyby P było zachowane:
f  ( )  f  (   )
  0
  czyli ani P ani C nie jest zachowane.
Ale zauważmy, że P zmienia:
a C zmienia:
Czyli CP zmienia:
f  ( )  f  (   )
    
D. Kiełczewska, wykład 5
J Þp -J
f+ Þ f -
zgodnie z pomiarami
22
Niezmienniczość CP
Reasumując:
Łamanie parzystości P jest kompensowane przez
łamanie symetrii ładunkowej C
zachowanie CP
(tzw. parzystości kombinowanej)
ale tylko przybliżone......
D. Kiełczewska, wykład 5
23
Skrętność neutrin
Dla neutrin o bardzo małych masach mamy z r-nia Diraca
skrętność:
H  1
Skrętność zmierzono w eksperymencie
Goldhabera et al. (1958)
-
często oceniany jako najpiękniejszy eksperyment w fizyce.
Okazało się, że neutrina są lewoskrętne.
D. Kiełczewska, wykład 5
24
Skrętność neutrin
Zgodnie z r-niem Diraca dla cząstek bezmasowych
(albo ultrarelatywistycznych)
H  1
sp
H
s p
Z doświadczenia: obserwowano tylko
lewoskretne neutrina
i prawoskrętne antyneutrina
Działanie transformacji P, C i CP:
L
P
R
CP
C
L
R
D. Kiełczewska, wykład 5
25
Zależność spinowa słabych
pomijam
oddziaływań
Widzieliśmy, że polaryzacja (=asymetria) elektronów w rozpadach beta:
f (0) - f (p )
v
A=
=a
f (0) + f (p )
c
  1 dla leptonów
  1 dla antyleptonów
Inaczej możemy to wyrazić tak:
w oddz. słabym leptony o masie>0 emitowane są jako kombinacje
liniowe stanów lewoskrętnych L i prawoskrętnych R.
Czyli leptony będą wyemitowane w stanie R z prawdop.  R 
a w stanie L z prawdop.
Wtedy polaryzację możemy wyrazić przez różnicę
prawd. stanów L i R:
NR - NL
A=
= rR - rL
L 
NR
NL  NR
NL
NL  NR
NL + NR
D. Kiełczewska, wykład 5
26
Zależność spinowa słabych oddziaływań
pomijam
Czyli w oddz. słabych polaryzacja produkowanych (anty)leptonów jest :
P  R  L
P 
v
c
 = +1dla antyleptonów
Ponieważ jednocześnie:  R   L  1
więc:
1
v


 R  1   
2
c
1
v


 = -1 dla leptonów
 L  1   
2
c
1 æ v ö v®c
1+ ÷ ¾¾¾
®1
2 çè
cø
1æ vö
r R = ç 1+ ÷ ¾v®c
¾¾
®1
2è
cø
tzn. leptony są produkowane w stanie L z prawd: r L =
antyleptony są produkowane w stanie R z prawd:
Natomiast prawd. stanów z tzw.
„złą skrętnością” jest:
1  v  m2
1   
2  c  4E 2
D. Kiełczewska, wykład 5
tzn. w przypadku ultrarelat.
leptony produkowane są LH
a antyleptony RH
27
Wielkość
Oddz.
silne
Oddz. Oddz.
elmgt słabe
Energia
✓
✓
✓
Pęd
✓
✓
✓
Moment pędu
✓
✓
✓
Ładunek elek.
✓
✓
✓
✓ zachowane
Liczba barionowa
✓
✓
✓
✕ niezachowane
(albo liczba kwarków)
✓
✓
✓
Zapach kwarków
✓
✓
✕
Liczba leptonowa
całkowita
−
✓
✓
* z wyjątkiem oscylacji
Liczba leptonowa
zapachowa *
−
✓
✓
* b. mały efekt
Izospin
✓
✕
✕
Parzystość P
✓
✓
✕
CP
✓
D. Kiełczewska,
wykład
✓
✕* 5
Prawa
zachowania
−
nie dotyczy
28