Zestaw 1d. Preliminaria – o funkcji gęstości
Twierdzenie 1 - o zamianie miar w całce.
Niech w przestrzeni , B(),{ , } miara ν będzie absolutnie ciągła względem miary μ.
a. Jeżeli funkcja f jest gęstością miary ν względem miary μ , to
g ( x))d ( x) g ( x) f ( x)d ( x)
dla dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej g.
b. Funkcja g (niekoniecznie nieujemna) jest całkowalna względem miary ν wtedy i tylko
wtedy, gdy iloczyn gf jest całkowalny względem miary μ i wtedy
g ( x))d ( x) g ( x) f ( x)d ( x)
A
dla A B () .
A
Wniosek 1. Na mocy twierdzenia 1 możemy zapisać d fd .
Niech T : V R k dla V R k będzie odwzorowaniem postaci T (x) t1 (x), t2 (x),..., tk (x)
dla którego istnieją pochodne cząstkowe tij ti x j , a J (x ) niech będzie jakobianem
J (x) det tij (x) .
Twierdzenie 2 - o zamianie zmiennych w całce Lebesque’a.
Niech T : V T (V ) będzie odwzorowaniem różnowartościowym przekształcającym zbiór
otwarty V na otwarty zbiór T (V ) , ciągłym i mającym ciągłe pochodne cząstkowe
tij ti x j . Wtedy
f (T ( x)) J ( x) dx f ( y)dy ,
V
T (V )
dla każdej funkcji całkowalnej f na zbiorze T (V ) .□
Dla dowolnego zbioru borelowskiego A V zastępując f przez f IT ( A) otrzymujemy
f (T ( x)) J ( x) dx f ( y)dy ,
A
T ( A)
Wniosek 1. Z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce Lebesque’a mamy:
P X ( B) P( X B) f X ( x)dx f X (h( y )) J ( y) dy P(Y C ) PY (C ) .
B
C
fY ( y) f X (h( y)) J ( y) , gdzie Y g X i dla X h Y , B h(C ) spełnione są
założenia twierdzenia 2 (z T h ).
Stąd
Twierdzenie 3 - o gęstości rozkładu warunkowego. Niech
1. Z ( X , Y ) będzie wektorem losowym o wartościach z przestrzeni produktowej
WX WY , B(WX ) B(WY ), , gdzie WX B(R), WY B(R) ,
2. istnieje gęstość f Z rozkładu zmiennej Z ze względu na miarę , gdzie miary
μ i ν są σ-skończone odpowiednio na przestrzeniach WX , WY ,
3. fY ( y )
f Z ( x, y)d ( x) 0
dla y WY .
WX
Wtedy rozkład warunkowy P X ( | Y y) i ma gęstość f ( x | y )
f Z ( x, y )
.
fY ( y )
Zadanie 1. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X1 X 2 , gdzie zmienne X1, X 2 są typu
ciągłego o gęstości: f X (x) .
Rozwiązanie.
Niech Y1 g1 ( X ) X1 i Y2 g2 ( X ) X1 X 2 . Wtedy odwzorowanie odwrotne ma postać
1 0
1.
X1 h1 (Y1,Y2 ) Y1 i X 2 h2 (Y1,Y2 ) Y2 Y1 , a jakobian jest równy J
1 1
Stąd fY ( y1, y2 ) f X ( y1, y2 y1 ) , gęstość zmiennej Y2 jest gęstością brzegową
fY2 ( y2 ) f X ( x, y2 x)dx .
R
Dla niezależnych zmiennych X1, X 2 :
fY2 ( y2 ) f X 1 ( x) f X 2 ( y2 x)dx .
R
Zadanie 2. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X1 X 2 , gdzie zmienne X1, X 2 są typu
ciągłego o gęstości: f X (x) .
Rozwiązanie.
Niech Y1 g1 ( X ) X1 i Y2 g2 ( X ) X 2 X1 . Wtedy odwzorowanie odwrotne ma postać
X1 h1 (Y1,Y2 ) Y1 i X 2 h2 (Y1,Y2 ) Y1 Y2 , a jakobian jest równy J
1
0
y2
y1
y1 .
Stąd fY ( y1, y2 ) f X ( y1, y1 y2 ) | y1 | , gęstość zmiennej Y2 jest gęstością brzegową
fY2 ( y2 ) f X ( x, xy2 ) | x | dx .
R
Dla niezależnych zmiennych X1, X 2 :
fY2 ( y2 ) f X 1 ( x) f X 2 ( xy2 ) | x | dx .
R
Zadanie 3. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X 2 X1 , gdzie zmienne X1, X 2 są
niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym G ( ,1) .
Zadanie 4. Wykazać prawdziwość twierdzenia 1a w przypadku, gdy
a. g I A ,
b. g jest funkcją prostą,
Wskazówka. Jeżeli 0 f n f p.w., to
c. g jest funkcją nieujemną.
f n d f d .
Zadanie 5. Wykazać, że jeśli P X ( | Y y) , to P X ( A | Y y) f ( x | y) (dx) i stąd
A
E ( g ( X ) | Y y) g ( x) f ( x | y) (dx) .
Zadanie 6. Wykazać, że dla wektora ( X , Y ) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym z
funkcją gęstości
f ( x, y)
1
exp 12 (x m)T Σ 1 (x m) , gdzie (x m)T [ x m1, y m2 ]
2 | Σ |1 2
mamy E (Y | X x) a bx dla pewnych stałych a i b .
