PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ
ALGEBRA MACIERZY
Macierzą prostokątną o m wierszach i n kolumnach nazywamy
tablicę m × n liczb rzeczywistych aij (i=1,2, ... ,m; j=1,2, ... ,n)
zapisaną w postaci ujętego w nawiasy kwadratowe prostokąta liczb
a11 a12
a
21 a22
M
M
am1 am 2
K a1n
K a2 n
O
M
a
K mn
Liczby rzeczywiste aij nazywamy elementami macierzy.
KaŜdy element macierzy jest oznaczany dwoma wskaźnikami:
• pierwszy oznacza numer wiersza
• drugi – numer kolumny
Iloczyn m × n nazywamy wymiarami macierzy.
Macierz będziemy zapisywać często w krótszej postaci:
A m × n = a ij
m × n
a
ij m×n
A m×n
a
ij
A
Najczęściej macierze oznaczamy duŜymi pogrubionymi literami
A , C , X , W , B , ...
PRZYKŁAD. Normy zuŜycia środków produkcji na jednostkę wyrobów
ALFA i BETA ujęte w tabeli moŜna zapisać jako macierz N.
wyroby
[szt]
ALFA
BETA
Normy zuŜycia na jednostkę wyrobu
stal
drewno
farba
praca
energia
2
[kg/szt]
[m /szt]
[litr/szt]
[rg]
[kWh/szt]
1
2
3
2
2
2
1
2
2
3
N 2×5
1 2 3 2 2
= nij
=
2×5 2 1 2 2 3
2
W zbiorze macierzy {A m×n } wyróŜnia się pewne
typy macierzy, bądź ze względu na ich wymiary, bądź
wartości elementów aij macierzy.
Wymiary macierzy są podstawą do wyróŜnienia
macierzy prostokątnych, macierzy kwadratowych i
wektorów.
A = a ij
m×n
Def. Macierz
nazywa się macierzą
prostokątną, gdy m≠n
A = a ij
m×n
dla m=n nazywa się
Def. Macierz
macierzą kwadratową. Macierz kwadratową oznacza
A n = a ij
n×n . Liczbę n nazywa się
się symbolem
stopniem macierzy kwadratowej.
3
Def. Elementy: a11, a22, ..., ann macierzy
A n = a ij
n×n nazywa się przekątną
kwadratowej
główną macierzy A.
A = a ij
m×1
(n=1)
Def. Macierz prostokątną
nazywa się wektorem kolumnowym (lub krótko
wektorem) i zapisuje w postaci:
a1
a2
M
a m
A = a ij
1×n
Def. Macierz prostokątną
(m=1)
nazywa się wektorem wierszowym i zapisuje w
postaci
[a1
a 2 L an ]
4
Wektory wierszowe i kolumnowe oznacza się w tym
skrypcie najczęściej małymi, pogrubionymi literami
a, b, ..., x, y itp.
Ze względu na wartości liczbowe elementów aij
macierzy A w zbiorze macierzy wyróŜnia się
macierze zerowe i macierze jedynkowe.
A = a ij
m×n , w której wszystkie
Def. Macierz
elementy aij=0 nazywa się macierzą zerową i oznacza
symbolem 0mxn.
A = a ij
m×n , w której wszystkie
Def. Macierz
elementy aij = 1 nazywa się macierzą jedynkową i
oznacza symbolem Jmxn.
5
W zbiorze macierzy kwadratowych, stopnia n,
wyróŜnia się macierze: jednostkowe, diagonalne,
trójkątne, symetryczne i skośnosymetryczne.
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
A n = a ij
n×n , w której elementy spełniają
warunek:
1 dla i = j,
a ij =
0 dla i ≠ j
nazywa się macierzą jednostkową i oznacza
symbolem In
Wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy In
są więc jedynkami, natomiast pozostałe elementy
zerami.
Przykład: Macierzami jednostkowymi są m.in.
macierze:
1 0
[1]
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
A n = a ij
n×n
w której aij=0, dla kaŜdego i≠j
nazywa się macierzą diagonalną.
Przykład: Macierzami diagonalnymi są m. in.
macierze:
1 0
0 2
,
2 0 0
0 − 3 0
0 0 1
5 0 0 0
1
0 5 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
A n = a ij
n×n , w której dla kaŜdej pary (i,j): aij=aji
nazywa się macierzą symetryczną.
Przykład: Macierze:
1 0 0
1 − 1 4
0 2 0
2 3
3 0 − 1 0 0 0 0 3
4 0 4
0 0 0
są macierzami symetrycznymi.
0
0
0
4
7
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
A n = a ij
n×n
,
w której dla kaŜdej pary (i, j):
aij = -aji nazywa się macierzą skośnosymetryczną.
Przykładami macierzy skośnosymetrycznych są
następujące macierze:
0 − 1 2
0 − 5
5 0 1 0 3
- 2 - 3 0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
8
DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Niech będą dane macierze
A = a ij
,
B = b ij C = c ij
.
,
Def. Macierze: Amxn i Bmxn są sobie równe (A=B),
jeśli aij=bij, dla kaŜdej pary (i,j)
Def. Sumą macierzy Amxn i Bmxn nazywa się taką
macierz Cmxn (C=A+B), Ŝe dla kaŜdej pary
wskaźników (i,j) zachodzi równość: cij=aij+bij.
Przykład: Obliczyć sumę A+B dla
0 1
1 4
A = 3 1 B = 3 4
− 1 1 ,
2 5 ,
1 + 0 4 + 1 1 5
A + B = 3 + 3 1 + 4 = 6 5
2 + (−1) 5 + 1 1 6
9
tw. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli
A+B=B+A
tw. Dodawanie macierzy jest łączne, czyli
(A+B)+C)=A+(B+C)
tw. JeŜeli A+B =A, to B=0
def. Macierz B nazywa się macierzą przeciwną do
macierzy A, co zapisuje się : B = -A, jeśli A+B=0
def. Macierz Bnxm nazywa się transpozycją macierzy
Amxn (lub macierzą transponowaną do macierzy Amxn),
jeśli dla kaŜdej pary (i,j) zachodzi równość:
bij = aji
Macierz transponowaną B oznacza się symbolem AT
(lub A’)
4 5 0 0
B=
jest macierzą
Przykład: Macierz
0
3
1
1
4 1
5 0
A=
0 3
transponowaną do macierzy
0 1
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe kolejne kolumny (wiersze)
macierzy B odpowiadają kolejnym
wierszom(kolumnom) macierzy A.
10
Tw. Transponowanie macierzy posiada następujące
własności:
(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT
(A B)T=BT AT
tw. JeŜeli macierz A=[aij]nxn spełnia warunek AT=A,
to A jest macierzą symetryczną.
Def. Iloczynem liczby α i macierzy Amxn, nazywa się
taką macierz Bmxn, co zapisuje się: B=αA), w której
bij=α aij dla kaŜdej pary (i,j)
Przykład. Obliczyć A+(-3)B, jeśli
0 1
1 2
B=
A=
3 0
4 3
1 2 0 − 3 1 − 1
A + ( −3)B =
+
=
4
3
9
0
5
3
−
−
11
def. Iloczynem macierzy Amxk przez macierz Bkxn
nazywa się taką macierz Cmxn (co zapisuje się
C=A·B), której elementy spełniają warunek:
∧ c ij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + ... + a ik bkj
(i , j )
1 − 1 0
1 2
B=
A=
4 2 1
3 1
1 ⋅1 + 2 ⋅ 4 1 ⋅ (− 1) + 2 ⋅ 2 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 9
3 2
AB =
=
(
)
3
⋅
−
1
+
1
⋅
2
7
−
1
1
3
⋅
1
+
1
⋅
4
3
⋅
0
+
1
⋅
1
tw. Dla dowolnej macierzy Amxn zachodzą równości:
ImA=A
AIn=A
tw. Zachodzą następujące równości
α(A+B)=αA+αB α(AB)=A (αB)
tw. MnoŜenie macierzy przez macierz jest łączne,
czyli (A B) C=A (B C)
tw. MnoŜenie macierzy przez macierz jest rozdzielne
względem dodawania macierzy, czyli
A (B+C)=A B+A C
12
Def. Macierz kwadratowa B=[bij]nxn nazywamy
macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
A=[aij]nxn, jeśli spełniony jest warunek:
A·B=B·A=In
Macierz odwrotną, jeśli istnieje, oznacza się
symbolem A-1, a proces wyznaczania(poszukiwania
jej elementów nazywa się odwracaniem macierzy.
Przykład: Macierz B jest macierzą odwrotną do
macierzy A, gdzie:
4 1
1 3 − 1
i A=
B=
7 − 5 4
5 3 , poniewaŜ
4 1 1 3 - 1 1 12 − 5 − 4 + 4
=
=
A⋅B =
5 3 7 - 5 4 7 15 − 15 − 5 + 12
1 7 0 1 0
=
=
7 0 7 0 1
oraz
13
3−3
1 3 − 1 4 1 1 12 − 5
=
=
B⋅A =
7 − 5 4 5 3 7 − 20 + 20 − 5 + 12
1 7 0 1 0
=
=
7 0 7 0 1
MoŜna zatem napisać:
3
7
4 1
5 3 = − 5
7
−1
− 1
7
4
7
def. Macierzą kwadratową A, która nie posiada
macierzy odwrotnej nazywa się macierzą osobliwą.
Przykład:
1 2
A=
Pokazać moŜna, Ŝe np. macierz
1
2
jest macierzą osobliwą
tw. JeŜeli A jest macierzą nieosobliwą, to
-1 T
T -1
(A ) = (A )
-1 -1
oraz (A ) = A
14
tw. JeŜeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego
samego stopnia, to
(AB)-1 = B-1A-1
tw. JeŜeli A jest macierzą nieosobliwą i α∈R\{0}, to
(αA )
−1
=
1
α
(A )
−1
def. Macierz kwadratową A spełniającą warunek
ATA = AAT = I
Nazywa się macierzą ortogonalną
15
PRZEKSZTAŁCENIA ELEMENTARNE
MACIERZY
def. Przekształceniami elementarnymi macierzy
A=[aij]m×n nazywa się następujące działania
wykonywane na wierszach (lub na kolumnach)
macierzy:
T1: PomnoŜenie wszystkich elementów wybranego
wiersza (kolumny) przez liczbę α ≠ 0.
T2: Zamiana miejscami (przestawienie) dwóch
dowolnie wybranych wierszy (lub kolumn)
macierzy;
T3: Dodanie do wszystkich elementów wybranego
wiersza (kolumny) odpowiadających im
(występujących w tej samej kolumnie (wierszu))
elementów innego wiersza (kolumny)
pomnoŜonych przez liczbę α ≠ 0
16
Przykład:
1 1 4 2
6 2 − 1 2
4 6
4 4
1
4
2
1
6
2 −1
2
− 2 − 3 − 2 − 2 w’3=w3/(-2)
0
4
2
1
6 − 4 −1
2
− 2 − 1 − 2 − 2 k’2=k2+k1*(-1)
2
6 − 4 −1
1
0
4
2
− 2 − 1 − 2 − 2
w’1=w2, w’2=w1
2 − 1 − 4
6
1
0
2
4
− 2 − 2 − 2 − 1 k’2=k4, k’4=k2
17
ODWRACANIE MACIERZY
Jedną z metod odwracania macierzy jest metoda
wykorzystująca operacje elementarne.
Idea polega na równoległym przekształcaniu
elementarnym wierszy macierzy danej A
oraz macierzy jednostkowej I.
Schemat postępowania moŜna ująć krótko
A
I
: :
ciąg operacji elementarnych
: :
I
B=A-1
JeŜeli nie moŜna odwrócić macierzy w podany sposób, to oznacza,
Ŝe nie istnieje macierz odwrotna do macierzy A.
18
PRZYKŁAD. Dana jest macierz
2
2
1
1
0
0
2 1 1
1 2 0
2 1 0
1 1 / 2
1
−1
1 1 / 2
1 0 3 / 2
0 1 − 1
0 0 3 / 2
2 2 1
A 3 = 2 1 2
1 2 1
0 0
1 0
0 1
1 / 2 0 0 w1nowy = w1stary × 1 / 2
− 1 1 0 w 2
nowy = w 2 stary + w1stary × (− 1)
− 1 / 2 0 1 w3nowy = w3stary + w1stary × (− 1 / 2 )
1 0 w1nowy = w1stary + w2 stary × 1
− 1/ 2
1 − 1 0 w2 nowy = w2 stary × (− 1)
− 3 / 2
1 1 w3nowy = w3stary + w2 stary × 1
0 − 1 w1nowy = w1stary + w3stary × (− 1)
1 0 0 1
0 1 0 0 − 1 / 3 2 / 3 w2
nowy = w 2 stary + w3stary × 2 / 3
0 0 1 − 1 2 / 3 2 / 3 w3nowy = w3stary × 2 / 3
Zatem macierz odwrotna do macierzy A3 ma postać
0 − 1
1
A 3−1 = 0 − 1 / 3 2 / 3
− 1 2 / 3 2 / 3
