put parity. ograniczenia na cenę opcji. opcje amerykańskie

OPCJE
Ograniczenia na cenę opcji
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Amerykańskie instrumenty pochodne
Opcje amerykańskie
Notacja
 K - cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward
 T - okres (w latach) pozostający do dostawy
 S – cena instrumentu bazowego, będącego
przedmiotem kontraktu
 F – cena terminowa kontraktu forward
 f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward
 r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej
kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy
Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi
punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST,
(F0= K)
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Call-put parity
Rozważmy portfel o składzie:
1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S0 z ceną
realizacji K i terminem realizacji T,
2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną
realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży.
Rozpatrzmy dwa przypadki:
a) w chwili T: S T < K
kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T
opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając
kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans
zerowy
b) w chwili T: S T > K
kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K
opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana
Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję
wypłaty opcji kupna.
Wniosek 2. Skoro wartość portfela w chwili T jest
wartością opcji kupna, zatem wartość portfela w
chwili początkowej musi być także równy wartości
opcji, czyli
C0 = P0 + f
gdzie C0 , P0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji
sprzedaży, f - wartość kontraktu terminowego kupna
w chwili t = 0, czyli
C0 = P0 + (S0 - e-rT K)
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
 Prawdziwe jest stwierdzenie:
Jeżeli w chwili końcowej wartość dwóch portfeli jest jednakowa (PT ),
to również w chwili początkowej ich wartości musiały być równe
Przypuśćmy przeciwnie; w chwili początkowej wartość portfela
pierwszego P1 była mniejsza niż drugiego P2
Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa:
 Krótka sprzedaż portfela P2 , zakup portfela P1
 Ulokowanie kwoty (P2 - P1) na oprocentowanym koncie
W chwili końcowej
 Rozliczenie krótkiej sprzedaży (oddanie kwoty PT uzyskanej z
portfela pierwszego)
 Uzyskanie arbitrażowego zysku (P2 - P1) erT
Ograniczenia na cenę opcji kupna
oraz opcji sprzedaży








Ce
cena europejskiej opcji kupna
Pe
cena europejskiej opcji sprzedaży
Ca cena amerykańskiej opcji kupna
Pa
cena amerykańskiej opcji sprzedaży
r
stopa procentowa bez ryzyka
So
cena akcji w chwili początkowej
T
termin realizacji opcji
K cena wykonania opcji
Ograniczenia na cenę opcji kupna
Ceny opcji kupna spełniają następujące nierówności
So ≥ Ca ≥ Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )
Uzasadnienie
Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej
jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli
Ca ≥ Ce
cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa
akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję
bezpośrednio, zatem So ≥ Ca
z parytetu kupna-sprzedaży (Ce – Pe = So – K e-rT )
Ce = So – K e-rT + Pe
wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy Pe ≥ 0,) zatem
Ce ≥ So – K e-rT
Stąd i nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy
Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )
Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży
Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące nierówności
K ≥ Pa ≥ Pe ≥ max(Ke-rT –S0 ,0)
Uzasadnienie
Gdyby K < Pa , to wystawiając opcję z cena wykonania K uzyskujemy – w
najgorszym przypadku Pa- K (zysk arbitrażowy)
Gdyby Pe erT – K > 0 to oznaczało by to możliwość arbitrażu (inwestor
uzyskałby w chwili T przynajmniej Pe erT – K ). Zatem musi być:
K – Pe erT ≥ 0
czyli K e-rT ≥ Pe
z parytetu ceny opcji otrzymujemy Pe = Ce - So + K e-rT oraz Ce ≥0, zatem
Pe ≥ Ke-rT -So , ponieważ Pe ≥ 0, więc
Pe ≥ max(Ke-rT –S0 ,0)
Równość cen opcji kupna
Ca = C e
 Twierdzenie. Ceny europejskiej i
amerykańskiej opcji kupna na akcje nie
przynoszące dywidendy są równe
(zakładamy tę samą cenę wykonania i
dzień wygaśnięcia dla obu opcji)
Równość cen opcji kupna
Ca = C e
 Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, ceny nie są równe. Ponieważ Ca
≥ Ce więc wtedy Ca > Ce . Wtedy
t=0
 Wystawiamy opcję amerykańską
 zajmujemy długą pozycję na europejskiej opcji
 Różnicę Ca - Ce lokujemy przy stopie r
dla t <T
jeśli opcja amerykańska jest realizowana, pożyczamy akcję,
sprzedajemy (jako wystawca) po cenie realizacji K, kwotę K
lokujemy przy stopie r.
t=T
możemy zrealizować opcję europejską kupując akcję za K (jeśli
cena akcji jest większa) i zamknąć krótką sprzedaż akcji
Realizujemy zysk arbitrażowy (Ca - Ce )e rT +K e r(T-t) – K > 0
Jeśli dla t < T opcja amerykańska nie jest realizowana, to zysk
arbitrażowy wynosi (Ca - Ce )e rT
Amerykański instrument pochodny
 Amerykański instrument pochodny może
być zrealizowany w każdym momencie n
 0nN z wypłatą f(S(n)).
 Oczywiście, może być zrealizowany tylko
raz.
 Wartość instrumentu pochodnego w
chwili n będziemy oznaczać DA(n)
Model dwustanowy dwuetapowy
wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji
S 2uu  u 2  S 0
S  u  S0
u
u
1
u
d
S
S0
d
S  d  S0
d
1
(b)
(a)
(e)
(c)
(f)
S
du
2
K
 u  d  S0
u
d
(d)
ud
2
S 2dd  d 2  S 0
Amerykańska opcja sprzedaży
 W węzłach d, e, f wartość opcji jest równa wartości
funkcji wypłaty z opcji, czyli max { K – S2, 0 }
oznaczmy ją przez f(S2). Cena końcowa akcji S2
przyjmuje jedną z trzech wartości: S0u2, S0ud, S0d2,
 Ponieważ rozważamy amerykańską opcję, która może
być zrealizowana przed dniem wygaśnięcia, zatem
istotne jest wyznaczenie jej wartości we wszystkich
węzłach grafu. Zakładamy, że opcja może być
zrealizowana właśnie w chwilach odpowiadających
węzłom grafu.
Amerykańska opcja sprzedaży
 Jako wycenę opcji węzłach b, c przyjmuje się
maksimum z :
 wyceny przeprowadzonej jak w przypadku opcji europejskiej
w modelu jednoetapowym ,
 wypłaty z opcji realizowanej w danym węźle, przy cenie akcji
odpowiadającej rozpatrywanemu węzłowi
Wycena opcji w węźle a przebiega podobnie tj. jest
maksimum z dwóch liczb:
 wyceny opcji europejskiej w modelu jednoetapowym
uwzględniającej wycenę opcji amerykańskiej w węźle b i c
 wypłaty z opcji realizowanej w węźle a.
Amerykańska opcja sprzedaży. Model
dwuetapowy (1)
Amerykańska opcja sprzedaży
 Uwaga. Wyceny w poszczególnych
węzłach oznaczają wyceny w zależności
od scenariusza zmian ceny akcji.
 Jeżeli np. w t =1 w węźle c wypłata z
opcji jest większa od wyceny w modelu
jednostopniowym, to oznacza że w
przypadku zaistnienia tego scenariusza
należy wykonać tę opcję (nie czekać do
wygaśnięcia)
Amerykańska opcja sprzedaży. Przykład
Wycena amerykańskiego instrumentu pochodnego o
funkcji wypłaty f zależnej od ceny akcji, wygasający
wt=2
 Przez amerykański instrument pochodny o funkcji
wypłaty f wygasający w chwili t = 2 rozumiemy
instrument zależny od instrumentu bazowego (np..
akcji), którego cena zmienia się jak w modelu
dwumianowym. Instrument może być zrealizowany w
chwilach: t=0, t=1, t=2. Wypłata z instrumentu zależy
od ceny instrumentu bazowego.
 Przykładami amerykańskich instrumentów
pochodnych są amerykańskie opcje kupna oraz opcje
sprzedaży
 Algorytm wyceny tego instrumentu jest uogólnieniem
postępowania przy wycenie amerykańskiej opcji
sprzedaży
Amerykański instrument pochodny wygasający
w chwili t = 2 jako ciąg 3 zmiennych losowych
 Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili
t = 2 z funkcją wypłaty f można identyfikować z
ciągiem 3 zmiennych losowych
 DA (2), DA (1), DA (0)
 zdefiniowanych w rekurencji wstecznej.
Amerykański instrument pochodny wygasający
w chwili t = 2 jako ciąg 3 zmiennych losowych
Amerykański instrument pochodny wygasający
w chwili t = N
Amerykański instrument pochodny wygasający
w chwili t = N jako ciąg N+1 zmiennych
losowych
 Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili
t = N z funkcją wypłaty f można identyfikować z
ciągiem (N+1) zmiennych losowych
 DA (N), DA (N-1),…, DA (1), DA (0)
 zdefiniowanych w rekurencji wstecznej