Matematyka jest wszędzie
Tajemniczy ciąg Fibonacciego
Leonardo z Pizy zwany Fibonaccim
1175-1250
- włoski matematyk pochodzący
z Pizy. Kształcił się początkowo
pod kierunkiem arabskiego
nauczyciela. Podczas swych podróży
po Europie i krajach Wschodu
zapoznał się z osiągnięciami arabskich
i hinduskich matematyków, między
innymi z systemem dziesiętnym, który
później propagował. Jego nazwisko
weszło do matematyki – głównie dzięki
ciągowi liczb, nazwanemu od jego
nazwiska ciągiem Fibonacciego.
Ciąg Fibonacciego:
Pierwsze dwa wyrazy ciągu:
1
1 1
1
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
1 +
1 1 2
1
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
1 +
1 1 2 3
2
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
2 +
1 1 2 3 5
3
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
3 +
5
1 1 2 3 5 8
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
5 +
8
1 1 2 3 5 8 13
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
8 + 13
1 1 2 3 5 8 13 21
Ciąg Fibonacciego:
Następna liczba ciągu:
suma dwóch poprzednich
13 + 21
1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
Ciąg Fibonacciego:
Elementy ciągu nazywamy
Liczbami Fibonacciego
1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
Własności ciągu Fibonacciego
jest to ciąg liczb naturalnych,
określony w sposób rekurencyjny.
Rekurencyjne określenie ciągu
polega na wyliczaniu danego
wyrazu ciągu na podstawie
poprzedniego.
Własności ciągu Fibonacciego
Stosunek dowolnej liczby ciągu do jej
poprzednika jest w przybliżeniu równy
1,618
21 : 13 = 1,615, 987 : 610 = 1,618...
Własności ciągu Fibonacciego
Liczba 1.618 ta nazywana jest
Złotą Liczbą
Stosunek 1.618 określa się mianem
Złotego Podziału
lub
Boskiej Proporcji
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Ciąg Fibonaciego należy
do ulubionych ciągów spotykanych
w przyrodzie – można go odnaleźć
w wielu jej aspektach – zarówno
w kształtach fizycznych struktur, jak
i w przebiegu zmian w strukturach
dynamicznych.
Ciąg
przyrodzie
Czyli Fibonacciego
jak rozmnażająwsię
króliki…
Łatwo policzyć roczny
przyrost królików w sposób
charakterystyczny dla
ciągu Fibonacciego.
Założenie: początkowo
mamy jedną parę – samca
i samicę, po miesiącu
wydadzą oni na świat
potomstwo, po kolejnym
miesiącu ich progenitura jest
zdolna do reprodukcji,
rodzice zaś nadal się
rozmnażają.
Jak wygląda drzewo
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
genealogiczne trutnia…
Samiec pszczoły
w przeciwieństwie
do samicy
(królowej, która
ma zarówno
ojca, jak i matkę –
inną królową)
powstaje
wyłącznie dzięki
matce.
Liczby Fibonacciego w świecie roślin
Pędy krwawnika rozwijają się zgodnie z naszym
ciągiem. Gdy wyrasta z ziemi ma 1 listek,
potem jeszcze 1,
następnie wypuszcza 2 listki,
potem 5, potem 8 liści,
i w końcu 13 kwiatków.
W ten sam sposób przyrastają
gałęzie wielu drzew.
Dlaczego kwiaty mają liczbę płatków
równą liczbom Fibonacciego?
Dlaczego kwiaty mają liczbę płatków
równą liczbom Fibonacciego?
Dlaczego kwiaty mają liczbę płatków
równą liczbom Fibonacciego?
Dlatego nie łatwo znaleźć czterolistną
koniczynę.
Optymalnie rozwinięte kwiaty mają liczbę
płatków równą liczbie Fibonacciego.
Jeszcze więcej przykładów…
Łuski szyszek
Układ pestek słonecznika
Kwiaty kalafiora
Kaktusy
Spirala Fibonacciego - muszle
Muszla łodzika (morskiego
mięczaka) ułożona jest
spiralnie i zbudowana
z szeregu komór, z których
każda następna jest większa
od poprzedniej dokładnie
o tyle, ile wynosi wielkość tej
poprzedniej. Wynika to
z faktu, że im są większe,
tym szybciej rosną.
Spirala Fibonacciego - muszle
Obraz spirali
Fibonacciego:
Widać, że (pomijając
dwa pierwsze,
najmniejsze) kolejne
kwadraty są większe od
poprzedzających
dokładnie o sumę ich
ścianek zgodnie z regułą
ciągu Fibonacciego.
Wiedza o ciągu Fibonacciego jest
przydatna dla:
□ programistów webbowych - znając złote
proporcje można stworzyć harmonijny
layaut strony internetowej
□ architektów
□ inżynierów
□ projektantów
□ ludzi pracujących w reklamie
matematykę można odnaleźć w biologii,
sztuce, muzyce, inżynierii…
Zajmując się teorią liczb nie można jednak
utracić matematycznego rygoru
Źródła:
□ http://www.zobaczycmatematyke.pl/przykl
ady/Badecka/fibonacci.htm;
□ http://www.math.edu.pl/liczbyfibonacciego;
□ https://www.youtube.com/watch?v=wb7kP
aM8cfg
