Czym zajmuje się teroia gier
Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy)
jak zachowują się gracze
jakie są ich możliwe zachowania
czy postępują racjonalnie
i co to znaczy
Poszukiwanie optymalnych strategii
jak zachować się optymalnie
czy da się przewidzieć rozwiązanie
Rodzaje gier:
kooperacyjne vs niekooperacyjne
jednorazowe vs powtarzalne
o sumie zerowej vs o sumie niezerowej
dwuosobowe vs wieloosobowe
z doskonałą informacją vs z niedoskonałą informacją
itd
Zastosowanie teoria gier w ekonomii
W co grają uczestnicy rynków?
bargaining game
one dolar game
aukcje
dylemat więźnia
O co grają między sobą?
o klienta
o polityków (regulacje)
o pozycje na rynku
o wejście na nowy rynek
obią pozostali gracze (unikajmy słowa: przeciwnicy)
Minimalne wymagania
Teoria gier powstała w 1944 wraz z publikacją książki J. von
Neumanna i O. Morgensterna „Teoria gier i zachowań
strategicznych”
Istotą każdej gry jest wzajemna współzależność graczy
Minimalne wymagania w każdej grze
jest co najmniej 2 graczy
wynik gry zależy od decyzji każdego gracza
wypłata każdego z nich zależy od decyzji wszystkich graczy
Jeśli gra zawiera kilka równowag Nasha, to racjonalni gracze
powinni osiągnąć tylko jedną z nich
Gry w postaci ekstensywnej (dynamiczne lub statyczne)
zawierają podgry
Podgra jest częścią większej gry i nie zawiera niepełnych
zbiorów informacji
Gry sekwencyjne
Często mamy do czynienia z grami, w których gracze
wykonują ruchy sekwencyjnie (np. naprzemiennie):
wejście nowej firmy na rynek
odpowiedź na wprowadzenie nowych regulacji
odpowiedź na kampanie marketingowe przeciwników
Gry w postaci normalnej nie są najlepszą reprezentacją
takich (dynamicznych) gier, gdyż zakładają one, że gracze
wykonują ruch jednocześnie, tzn. nie obserwują ruchów
wykonanych przez innych graczy
Gry dynamiczne reprezentuje się w postaci ekstensywnej.
Aby opisać kolejność ruchów w takiej grze często stosuje się
drzewka.
Drzewko gry składa się z węzłów i łuków (gałęzi).
Do węzłów decyzyjnych przypisany jest gracz podejmujący w
tym miejscu decyzję, a do węzłów końcowych przypisane są
wypłaty graczy.
Gry sekwencyjne
`
Dla gier sekwencyjnych – wygodnie przedstawić je w postaci ekstensywnej (extensive form) – w odróżnieniu od postaci uproszczonej, normalnej (normal form)
A
G
D
B
L
(3,9)
Węzły – decyzje
graczy
B
P
L
(1,8) (0,0)
P
(2,1)
Gałęzie – możliwe
strategie
Wypłaty
© Mikołaj Czajkowski
Gry z niepełną informacją
`
Każdą grę w postaci normalnej można przedstawić jako grę w postaci ekstensywnej
Gracz B
Gracz A
Zbiór informacji
B
D
P
L
A
G
B
Lewo
Prawo
Góra
3,9
1,8
Dół
0,0
2,1
(2,1)
P
(0,0)
(1,8)
L
(3,9)
Gra z pełną / niepełną informacją
© Mikołaj Czajkowski
Zbiór informacji
`
W danym zbiorze informacji:
`
`
`
`
`
Wierzchołki połączone przerywaną linią lub obwiedzione wspólną elipsą
Gracz nie zna wcześniejszego ruchu przeciwnika (nie wie dokładnie w którym węźle się znajduje)
Jeśli w danym zbiorze informacji tylko jeden węzeł – singleton
Każdy węzeł w danym zbiorze informacji musi mieć tę samą liczbę możliwych akcji do wyboru (w przeciwnym razie można byłoby je odróżnić)
Gra z pełną informacją – każdy zbiór informacji zawiera dokładnie jeden węzeł (singleton)
© Mikołaj Czajkowski
Ile podgier ma ta gra?
© Mikołaj Czajkowski
Dynamiczny versus statyczny dylemat więźniów
Gracze decydują reklamować się (R) czy nie (N)
Gracz 1
R
N
Gracz 2
Gracz 2
R
N
(6, 3)
(4,4)
N
R
(5, 5)
(3, 6)
gracz II 2
RRR
gracz I
RR
404, 4, 40
N
303, 6, 60
N
NN
6, 360, 30
50,5,
5 50
Indukcja wsteczna
Jak rozwiązać grę dynamiczną?
Pierwszy sposób polega na znalezieniu postaci normalnej gry
i zastosowaniu znanych nam narzędzi. Zakładamy wtedy,
że gracze wybierają strategię, czyli kompletny plan gry
jednocześnie na początku gry.
Tracimy jednak czas i pewne cenne informacje. Łatwiej i
lepiej rozwiązać taką grę przez indukcję wsteczną (cofając
się od ostatnich etapów do początku). Znalezione
rozwiązanie będzie równowagą Nasha nie tylko w całej grze,
ale też we wszystkich mniejszych „podgrach”, dlatego to
rozwiązanie nazywa się często równowagą Nasha
doskonałą w podgrach.
Zauważmy, że równowagą w dynamicznym dylemacie
więźniów jest (R, RR), czyli wynik jest ten sam co w grze
statycznej. Z reguły jest inaczej.
Metoda indukcji wstecznej
`
Twierdzenie Zermelo – każda skończona gra (w postaci ekstensywnej) z pełną informacją ma równowagę Nasha
w zakresie strategii czystych, którą można odnaleźć za pomocą indukcji wstecznej
`
`
Jeśli żaden z graczy nie ma tej samej wypłaty w dwóch końcowych węzłach, to jest to jedyna równowaga Nasha
Przykład – gra w szachy
`
`
zgodnie z twierdzeniem Zermelo, jeden z graczy ma strategie wygrywającą
jak dotąd nie udało się stwierdzić czy strategie wygrywającą mają białe czy czarne oraz czy w równowadze osiąga się remis czy zwycięstwo
© Mikołaj Czajkowski
Gry sekwencyjne
`
Gry sekwencyjne z pełną informacją można rozwiązać metodą indukcji wstecznej
P
(2,1)
gr.B
D
L
gr.A
P
G
gr.B
L
(0,0)
(1,8)
Choć zarówno (D,PL), (D,PP) jak
i (G,LL), (G,LP) są
równowagami Nasha gry
to rozwiązaniem (równowagą
doskonałą) będzie (G,LP)
Leader ma oczywistą przewagę
(3,9)
© Mikołaj Czajkowski
Równowaga doskonała
`
Nie wszystkie równowagi Nasha gier sekwencyjnych z pełną informacją mogą być oczekiwanym rozwiązaniem gry, jeśli zachodzi sekwencyjna racjonalność … `
`
Racjonalna strategia powinna być optymalna w każdej z podgier
Podgra – część większej gry, która:
` Zaczyna się od zbioru informacji zawierającej pojedynczy węzeł i zawiera wszystkie węzły do których można dojść wychodząc z początkowego węzła; zawiera tylko takie węzły
` Nie zawiera niepełnych zbiorów informacji
© Mikołaj Czajkowski
Gra w odstraszanie wejścia na rynek
Wersja 1:
Firma nowa
W
N
Firma stara
K
Wersja 2:
Firma stara
N
(2, 2)
(-1,-1)
N
K
(0, 9)
(0, 9)
Firma stara2
KR
Firma nowa
W
-1, -1
N
3010, 9, 60
N
N
2, 260, 30
50,0,
9 50
Doskonała równowaga
Znalezione rozwiązanie metodą indukcji wstecz będzie
równowagą Nasha (NE) nie tylko w całej grze, ale też we
wszystkich mniejszych „podgrach”, dlatego to rozwiązanie
nazywa się doskonała równowagą Nasha w podgrach
(SPNE), czyli gracze muszą na każdym etapie gry postępować
racjonalnie
Gra w odstraszanie wejścia na rynek:
Wersja dynamiczna ma 3 podgry
Firma nowa ma 2 strategie (W i N), a firma stara – 4
strategie: KK, NN, KN, NK w grze dynamicznej i 2 strategie
(K i N) w grze statycznej
2 równowagi Nasha w grze statycznej: (W, N) i (N, K) oraz 4
równowagi Nasha w grze dynamicznej: (W, NK), (W, NN), i
(N, KK), (N, KN)
(N, K) lub (N, KK) i (N, KN) są oparte na niewiarygodnej groźbie Firmy
starej, która powinna być zignorowana przez Firmę nową.
Tylko (W, N) lub (W, NN) jest równowagą doskonałą
Uwiarygodnianie gróźb
Groźba musi być wiarygodna aby była skuteczna
Groźby bez pokrycia
jej spełnienie jest (ex post) wbrew interesom grożącego
Groźba musi być wiarygodna aby była skuteczna
inwestycje w mocy produkcyjne (obniża to koszty krańcowe
w razie wojny cenowej, choć inwestycja jest kosztem
utopionym)
kampania reklamowa
reputacja
Gry koordynacyjne – wojna płci
`
`
Gry koordynacyjne – gry jednoczesne, w których wypłaty są maksymalne, jeśli gracze współpracują (koordynują swoje posunięcia)
Słynne przykłady:
`
`
`
Wojna płci (Battle of the Sexes)
Tchórz (Chicken)
Jastrząb‐Gołąb (Hawk‐Dove)
© Mikołaj Czajkowski
Gry koordynacyjne – wojna płci
`
Wojna płci
`
`
`
Kobieta woli oglądać jazdę figurową na łyżwach niż zapasy w błocie
Mężczyzna woli oglądać zapasy w błocie niż jazdę figurową na łyżwach
Każde woli oglądać coś razem, niż spędzać czas osobno Mężczyzna
Kobieta
`
Łyżwy
Zapasy
Łyżwy
8,4
1,1
Zapasy
0,0
4,8
NE {Łyżwy, Łyżwy}, {Zapasy, Zapasy}. MNE {(2/3,1/3); (1/3,2/3)} © Mikołaj Czajkowski
Gry koordynacyjne – tchórz
`
`
2 nastolatków ściga się samochodami – jadą naprzeciwko siebie wąską ścieżką
Ten który pierwszy skręci – przegrywa
Czerwony
Niebieski
`
`
`
Wytrzymać
Wymięknąć
Wytrzymać
‐100,‐100
100,‐10
Wymięknąć
‐10,100
‐5,‐5
NE {Wytrzymać, Wymięknąć}, {Wymięknąć, Wytrzymać}. MNE {1/50,49/50;1/50,49/50}
Kluczowe zobowiązanie (commitment), sygnalizowanie
Np. dylemat więźnia i rodziny mafijne
`
`
`
Więzy rodzinne
Wiążące ‘kontrakty’
Opieka nad rodziną
© Mikołaj Czajkowski
Gry na współistnienie
`
`
Jastrząb‐Gołąb (Hawk‐Dove)
Np. dwóch podchmielonych typów wpada na siebie na ulicy
`
`
`
Jastrząb – być agresywnym
Gołąb – spasować
Lepiej być agresywnym i przepędzić rywala, ale z tym wiąże się ryzyko obrażeń, jeśli on również zagra ‘jastrzębia’
Zenek
Mietek
`
Jastrząb
Gołąb
Jastrząb
‐5,‐5
8,0
Gołąb
0,8
4,4
NE {Jastrząb, Gołąb}, {Gołąb, Jastrzęb} MNE{(4/9,5/9);(4/9,5/9)}
© Mikołaj Czajkowski
Aukcje
`
Stosunkowo wydajna i często stosowana metoda sprzedaży (zbierania ofert)
`
`
`
Zachęca do konkurencji
Niskie koszty transakcyjne
Szczególnie efektywne dla dóbr unikalnych i rynków o dużych fluktuacjach
`
`
`
`
Giełdy towarowe, akcje
Dobra unikalne: antyki, dzieła sztuki, konie
Bony skarbowe
Pozwolenia na emisje zanieczyszczeń
© Mikołaj Czajkowski
Aukcje
`
Aukcja tradycyjna (angielska, ustna)
`
`
`
`
`
`
Sprzedawca aktywnie proponuje coraz wyższe stawki
Kupujący mogą składać oferty
Kupujący w każdej chwili znają najwyższą ofertę
Koniec jeśli nikt nie chce dać więcej
Jaka jest najlepsza strategia kupującego?
` strategia dominująca to sukcesywne podbijanie ceny aż do osiągnięcia wartości dobra, później wycofanie się z licytacji
Aukcja holenderska
`
`
`
Sprzedawca zaczyna od wysokiej kwoty
Obniża cenę, dopóki nie znajdzie się kupujący
Jaka jest najlepsza strategia kupującego?
`
brak strategii dominującej
© Mikołaj Czajkowski
Aukcje
`
Aukcja niejawna (first‐price sealed‐bid)
`
`
`
`
Kupujący składają oferty w kopertach
Po otwarciu ofert wygrywa najwyższa
Wygrywający musi zapłacić tyle ile wylicytował
` najlepszą strategią jest oferować nieco mniej niż wartość dobra
Aukcja niejawna drugiej ceny (Vickreya)
Dobro jest przydzielane agentowi oferującemu najwyższą cenę
ale płaci za nie drugą najwyższą oferowaną cenę
` oferowanie prawdziwej wartości prywatnej jest strategią dominującą
`
`
`
Wybór formatu aukcji
Wybór sposobu licytacji
© Mikołaj Czajkowski
