Minimalizacja kosztu
Minimalizacja kosztów polega na uzyskiwaniu danej
wielkości produkcji po najniższym możliwym koszcie
Graficznie – która kombinacja czynników na izokwancie
najtańsza?
Analitycznie – minimalizacja kosztów przy ograniczeniu
Min. kosztów wynika z maksymalizacji zysku (nie ma
max. zysku bez min. kosztu). Po co zatem dyskusja?
Po pierwsze, min. kosztów pozwoli nam na wyprowadzenie
funkcji kosztów całkowitych, którymi będziemy się
posługiwać w przyszłości
Po drugie, zobaczymy jaki jest związek między technologią
a kształtem funkcji kosztów
Izokoszta
Pokazuje wszystkie kombinacje czynników produkcji,
które łącznie kosztują tyle samo
Np. jeśli jedynymi czynnikami produkcji jest K i L, to:
TC = rK + wL
Dla różnych wartości TC równanie bezie wskazywać inne
kombinacje czynników
Możemy to przekształcić aby otrzymać równanie
izokoszty (na osi pionowej K):
K = TC/r – Lw/r
Jest to kombinacja dwóch czynników, na które trzeba
wydać TC
więc nachylenie izokoszty (–w/r) mówi nam o tym w jaki
sposób K można zastępować L bez zmiany kosztów
Izokoszta
K
TC1 ≡ rK+wL
TC1 > TC2
TC2 ≡ rK+wL
w
Nachylenie = −
r
L
Minimalizacja kosztów - graficznie
K
Rozwiązanie nie brzegowe:
MRTSLK = - w/r
czyli
MPL/w = MPK/r
K*
Q (K,L)
L*
L
Przesuwając izokosztę w dół, zmniejszamy koszt
całkowity
Minimalizacja kosztów – graficznie
Zmiana cen czynników produkcji
L relatywnie droższe niż K
=> mniej wykorzystywane
K
Nowe ceny czynników –
w0
w1
<−
nachylenie −
r1
r0
K1
Początkowe ceny
czynników –
w0
nachylenie −
r0
K0
L1
L0
L
Rozwiązanie brzegowe – graficznie
UWAGA: dla izokwant funkcji Cobba‐Douglasa osie asymptotami, więc zawsze rozwiązanie wewnętrzne
Rozwiązanie brzegowe
K
MPL MPK
<
w
r
możliwe jeśli σ >1
(np. dla doskonałych substytutów)
K1
Rozwiązanie wewnętrzne
K0
MPL MPK
=
w
r
czyli L > 0 i K > 0
L1 = 0
L0
L
Warunek minimalizacji kosztu
Firma minimalizująca koszty rozwiązuje problem:
min w 1x1 + w 2 x 2
x1, x 2 ≥ 0
Przy warunku
f (x1, x2) = y
Minimalizacja kosztu polega na wybraniu takiej
kombinacji, która da nam najmniejsze TC przy danym y
To oznacza wybranie takiego punktu na odpowiedniej
izokwancie, w którym jej nachylenie jest równe
nachyleniu krzywej izokosztu
Można to rozwiązać stosując metodę Lagrange’a:
FOC: zróżniczkuj po wszystkich zmiennych (x1, x2, λ) i
przyrównaj do zera
Metoda Lagrange’a
Rozwiąż układ równań:
w1 = λ MP1
w2 = λ MPmax2[ py − w x − w x ] = [ pf ( x , x ) − w x − w x ]
x1
1 1
2
2
1
2
1 1
2
2
Mając daną funkcję produkcji, możemy znaleźć
minimalny koszt wytworzenia dowolnego y
Mnożnik Lagrange’a (w teorii producenta) pokazuje
stopień w jakim optymalne rozwiązanie funkcji celu
zmienia się wraz ze zmianą y (czyli jest to krańcowy koszt
zmiany wielkości produkcji – ukryta cena)
Przykład: funkcja Leontiewa
Funkcja produkcji Leontiewa: f(x1, x2) = min{ax1, bx2}
Optymalna kombinacja czynników to
y = ax1= bx2
A zatem aby wyprodukować y potrzeba
x1 = y/a oraz x2 = y/b
Zminimalizowana funkcja kosztu to:
C(y)= w1x1 + w2x2 = w1 y/a + w2 y/b = (w1 /a + w2 /b)y
Przykład: funkcja liniowa
Doskonałe substytuty: f(x1, x2) = ax1 + bx2
Z analizy graficznej wynika, że optymalne zastosowanie
czynników to:
Tylko x2, gdy w1 /a > w2 /b, czyli x2 = y/b
Tylko x1 , gdy w1 /a < w2 /b, czyli x1 = y/a
Obojętne gdy w1 /a = w2 /b
Zminimalizowana funkcja kosztu to:
C(y)= w1x1 + w2x2 = min{w1y/a, w2y/b}
= min{w1 /a, w2 /b}y
Min. kosztu a korzyści skali
Jeśli mamy stałe korzyści skali, to
podwojenie produkcji wymaga podwojenia nakładów
koszt całkowity również się podwaja
koszt przeciętny (na jednostkę y) nie zmienia się
Jeśli mamy malejące korzyści skali, to
podwojenie produkcji wymaga więcej niż podwojenia
nakładów
koszt całkowity również więcej niż podwaja się
koszt przeciętny (na jednostkę y) rośnie
Odwrotnie w przypadku rosnących korzyści skali
Koszt przeciętny a korzyści skali
c
malejące k. sk.
AC(y)
stałe k. sk.
rosnące k. sk.
y
Pozostałe zagadnienia
Popyt warunkowy
Ścieżka ekspansji
Produkcja w wielu zakładach
Popyty warunkowe
Popyt warunkowy
- dla każdego
zestawu y, w1, w2
możemy obliczyć
minimalizujące
koszty wielkości
x1 i x 2 .
Popyt warunkowy na K = f(q,w,r)
q
K
q
L
Popyt warunkowy na L = f(q,w,r)
Ścieżka ekspansji
Ścieżka ekspansji
(podobna do LRTC)
– pokazuje
najtańsze
kombinacje
czynników
produkcji
pozwalających na
osiągnięcie danej
produkcji
Ścieżka ekspansji w czasie
SR – niektóre czynniki stałe
LR – wszystkie czynniki zmienne
K
LR ścieżka ekspansji
LRTC ma zawsze przynajmniej
jeden punkt wspólny z każdą SRTC
K2
P
K1
SR ścieżka ekspansji
Q2
Q1
L1
L2
L3
L
Produkcja w wielu zakładach
Produkcja w wielu zakładach - firma rozkłada
produkcję tak, żeby krańcowe koszty w obu były
równe
wyprodukowanie ostatniej jednostki kosztuje
tyle samo w każdym zakładzie
jeśli MC2 >MC1, więc opłaca się przenieść
produkcję ostatniej jednostki z 2 do 1 zakładu
rozwiązania brzegowe (np. MC w obu
zakładach jest stały lub w jednym zawsze
niższy niż w drugim)
Produkcja w wielu zakładach
MC
Przykład
TC1 ( q1 ) = q12
TC2 ( q2 ) = 0,5q22 + 10q2
MC2 ( q2 ) = q2 + 10
MC1 ( q1 ) = 2q1
MC1 (q1)
MC2 (q2)
MC(q1 + q2)
Dla q < 5 tylko jeden zakład
Dla q ≥ 5 oba zakłady i
produkcja rozłożona tak, aby
MC1 = MC2
10
q
