Wybrane zadania zamknięte z zakresu treści programowych

Wybrane zadania zamknięte z zakresu treści programowych przerobionych w trakcie spotkań wakacyjnych;
Część II
Przerobione działy:
- działania na wyrażeniach algebraicznych;
- działania na wielomianach;
- równania, nierówności oraz układy równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema niewiadomymi;
- równania i nierówności II stopnia z jedną niewiadomą;
- równania i nierówności wymierne;
Działania na wyrażeniach algebraicznych
Nr
zad.
Wybrana
odpowiedź
Treść zadania
Wyrażenie: 27 x 3  y 3 jest równe iloczynowi:

C. 3x  y 9 x
A. 3x  y  9 x 2  3xy  y 2
1
2
 3xy  y 2



D. 3x  y 9 x

 3xy  y 
B. 3x  y  9 x 2  3xy  y 2
2
2
Wyrażenie 5a 2  10ab  15a jest równe iloczynowi:
2
A. 5a 2 (1  10b  3)

Równość a  2 2
3

2
B. 5a(a  2b  3)
C. 5a (a  10b  15)
 a 2  28 2  8 zachodzi dla
A. a  14
B. a  7 2
C. a  7
2
Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4 x  12 x  9 jest równe
4
5
D. 5(a  2b  3)
A. (4x +3)(x + 3)
B. (2x – 3)(2x +3) C. (2x – 3)(2x – 3)
Dla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie a – b +ab – 1 jest równe
A. (a + 1)(b - 1)
B. (1 - b)(1 + a)
C. (a - 1)(b + 1)
D. a  2 2
D. (x – 3)(4x – 3)
D. (a + b)(1 + a)
Strona w
tablicach
ab
Po skróceniu ułamek:
a b
6
A.
ma postać:
a b
B. a 2  b 2
C.
a b
D. 1
Wyrażenie 16  3x  1 jest równe
2
7
8
B. (15 - 3x)2
A. (3 - 3x)(5 + 3x)
b
, to
Jeśli a 
cb
a 1
A. b 
ac
B. b 
C. (5 - 3x)(5 + 3x)
ac
a 1
C. b 
ac
a 1
D. 15 – 9x2
D. b 
a 1
ac
Wyrażenie 3 x  1  y  jest równe:
2
9
B. 9 x 2  6 x  y 2  1
C. 3x 2  y 2  6 xy  6 x  1
D. 9 x 2  y 2  6 xy  6 x  2 y  1
Wyrażenie 3a 2  12ab  12b 2 może być przekształcone do postaci:
10
A. 3a 2  b 2 
B. 3a  2b 2 
Liczba 17 3  m 3 jest podzielna przez 19 dla
11
A. 3x 2  y 2  1
2
A. m  8
2
B. m  2
C. 3a  2b 2
C. m  2
D. 3a  2b 2
D. m  8
Działania na wielomianach
Nr
zad.
Wybrana
odpowiedź
Treść zadania
Wielomian W  x 3  2 x 2  4 x  8 po rozłożeniu na czynniki ma postać:
A. W   x  2   x  2 
2
1
C. W  x  2x  2
2
2
3
4
5

D. W  x  2x

 4
B. W  x  2 x 2  4
2
Po wykonaniu działań i redukcji wyrazów podobnych w wyrażeniu: W  2 x  13  x  13
otrzymamy:
A. W  7 x 3  15 x 2  3x  2
B. W  7 x 3  9 x 2  3 x  2
C. W  7 x 3  15 x 2  9 x  2
D. W  7 x 3  15 x 2  9 x
Dane są wielomiany: W ( x)  x  4 i M ( x)  x 2  2 x . Wielomian W ( x)  M ( x) jest równy:
A. x 3  2 x 2  8 x
B. x 3  6 x 2  8 x C. x 3  4 x 2  10 x
D. x 3  4 x 2  6 x
Dane są wielomiany: W ( x)  3x 3  2 x 2  4 i M ( x)  x 3  2 x 2  5 . Wielomian W ( x)  M ( x) jest
równy:
A. 4 x 3  9
B. 2 x 3  1
C. 2 x 3  1
D. 4 x 3  4 x 2  9
Dane są wielomiany: W ( x)  x 4  1 oraz V ( x)  x 4  1. Stopień wielomianu: W ( x)  V ( x) jest równy
A. 4
B. 8
C. 16
D. 0
3
2
Wielomian W ( x)  x  2 x  4 x  8 po rozłożeniu na czynniki ma postać wyrażenia:
6
A. x 2 x  2
B. x 2 x  4
C. x  2x  2
2
D. x  2x  2
2
Dane są wielomiany: W ( x)  x 3  3x  1 i V ( x)  2 x 3 . Wielomian W ( x)  V ( x) jest równy:
7
8
A. 2 x 5  6 x 4  2 x 3 B. 2 x 6  6 x 4  2 x 3 C. 2 x 5  3 x  1 D. 2 x 5  6 x 4  2 x 3
Dane są wielomiany: W ( x)  2 x 3  5x 2  3 oraz P( x)  2 x 3  12 x. Wielomian W(x) + P(x) jest równy:
A. 5 x 2  12 x  3
B. 4 x 3  5 x 2  12 x  3 C. 4 x 6  5 x 2  12 x  3
D. 4 x 3  12 x 2  3
Strona w
tablicach
Wielomian W ( x)  x 6  x 3  2 jest równy iloczynowi
9


A. x 3  1 x 2  2



B. x 3  1 x 3  2

Wielomian W ( x)  3x 2  2 jest równy wielomianowi



C. x 2  2 x 4  1


D. x 4  2 x  1
2
10
11
A. 9 x 4  12 x 2  4
B. 9 x 4  12 x 2  4
C. 9 x 4  4
D. 9 x 4  4
Wielomian W(x) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba -1.
Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:
A.  2x  1 x 2  1
B.  x  1  x  4
2
2
C.  x  1 x 2  3
2
D. x  1x  1x  2x  3
Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W ( x)  x 3  ax 2  6 x  4. Współczynnik a jest równy:
12
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
Wśród miejsc zerowych wielomianu są liczby: 0; 1; -2. Wielomian może mieć postać:
13
A. W ( x)  x 4  2 x 3  x 2  2 x
B. W ( x)  x 3  3x 2  2 x
C. W ( x)  x 3  2 x 2  x  2
D. W ( x)  x 3  2 x 2  4 x  5
Iloczyn wielomianów 2x – 3 oraz -4x2 – 6x – 9 jest równy
14
15
A.  8 x 3  27
B.  8 x 3  27
C. 8 x 3  27
D. 8 x 3  27
Reszta z dzielenia wielomianu W ( x)  2 x 3  4 x 2  15 x  12 przez wielomian P( x)  x  3 jest
równa:
A. -57
B. 57
C. -39
D. 39
Wielomian W ( x)  2 x  bx  1jest podzielny przez dwumian x + 1. Wynika stąd, że
3
2
16
A. b = -3
B. b = -1
C. b = 1
D. b = 3
Równania, nierówności oraz układy równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema niewiadomymi
Nr
zad.
Wybrana
odpowiedź
Treść zadania
Rozwiązaniem równania
x6
2
 jest liczba:
2x  4 3
1
A. 8
B. 10
Rozwiązaniem równania:  2 
C.
1
2
D. -10
x 1
jest liczba:
x2
2
A. -1
Rozwiązaniem równania
B. 1
C. 0
D.
5
3
x5 2
 jest liczba
x3 3
3
B. 7
A. 21
Rozwiązaniem równania
4
6
17
3
D. 0
3x  1 2
 jest
7x  1 5
7
4
C.
3
7
Rozwiązanie równania x(x + 3)− 49 = x(x − 4)należy do przedziału
A. 1
5
C.
B.
C. (5;1)
D. (2;)
3 x 5x
Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności  
jest
8 6 12
A. (;3)
A. 1
B. (10;)
D. 7
B. 2
C. - 1
D. – 2
Strona w
tablicach
7
4 x  2 y  10
Układ równań 
ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli
6 x  ay  15
A. a = −1
8
B. a = 0
C. a = 2
5 x  3 y  3
Rozwiązaniem układu równań 
jest para liczb
8 x  6 y  48
A. x = -3, y = 4
9
D. a = 3
B. x = -3, y = 6
C. x = 3, y = -4
x 2x 1
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 
 jest
2
3 4
D. x = 9, y = 4
A. -2
B. -1
C. 0
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności
23  x  x.
A.
D. 1
B.
10
C.
D.
11
3x  5 y  0
Rozwiązaniem układu równań 
jest para liczb (x, y) takich, że
2 x  y  14
A. x < 0 i y < 0
B. x < 0 i y > 0
C. x > 0 i y < 0
D. x > 0 i y > 0
12
Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki: a + b = 3, b + c = 4 i c + a = 5. Wtedy suma:
a + b + c jest równa
A. 20
B. 6
C. 4
D. 1
Pięć lat temu ojciec był 3 razy starszy od syna, a za 10 lat będą mieli w sumie 90 lat. Który układ
równań opisuje tę sytuację?
13
5 x  3  5 y
 x  y  10  90
 x  5  3   y  5
 x  5  3   y  5
A. 
B. 
C. 
D. 
5 x  5 y  90
x  3 y
 x  y  10  90
 x  10  y  10  90
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
14
Wskaż ten układ.
y  x 1
A. 
 y  2 x  4
15
y  x 1
y  x 1
B. 
C. 
 y  2x  4
 y  2 x  4
2  x 2x  1

 x jest przedział
Zbiorem rozwiązań nierówności
3
2
1
2
A. (; )
16
B. (;
1
)
14
C. (
1
;)
14
y  x 1
D. 
 y  2x  4
1
2
D. ( ;)
Dane jest równanie: 3x + 4y – 5 = 0. Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?
A. 6x + 8y – 10 = 0
B. 4x – 3y + 5 = 0
C. 9x + 12y – 10 = 0
D. 5x + 4y – 3 = 0
Rozwiązaniem równania
17
x3 1
 jest liczba
2 x 2
4
3
B. 
3
4
x5 1
Rozwiązaniem równania
 jest liczba
7x 3
A. 
18
19
20
3
8
m
5 5
A.  11
B.
11
2
C.
A. x  0
B. x 
12
5
C. x  2
D.

D. x  25
11
5 5
zachodzi dla
5
A. m 5
B. m 4
C. m 1
D. m -5
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność: 2  x  4 ?
7
22
A. 14
Układ równań:  x  y  3
2 x  0,5 y  4
23
8
3
2
D. 11
11
3 2x x
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność: 
 jest przedziałem
5
3
6


18
9
1
A. 9 ; 
B.   ;
C.
D.   ;
;  
30
15
5
25


2x  4 4
Rozwiązaniem równania:
 jest liczba
3 x
3
Równość:
21
C.
B. 15
14
3
C. 16
D. 17
opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
A. zbiór pusty
B. dokładnie jeden punkt
C. dokładnie dwa różne punkty
D. zbiór nieskończony
Para liczb x = 2 i y = 1 jest rozwiązaniem równań  x  ay  5 , gdy
2 x  y  3
24
A. a  3
B. a  2
C. a  2
D. a  3
Równania i nierówności II stopnia z jedną niewiadomą
Nr
zad.
Wybrana
odpowiedź
Treść zadania
Zbiorem rozwiązań nierówności:  x  1x  3  0 jest:
1
A.  1;3
B. (;3    1;)
C. (;1    3;)
D.  1;3
Równanie x  6 x  9  1
2
2
B. ma dwa pierwiastki
C. ma jeden pierwiastek
D. nie ma pierwiastków
Zbiorem rozwiązań nierówności: x  1x  2  0 jest zbiór:
3
A.  ;2  1;
B. (2;1)
C. (;1)  (2;)
Większa z liczb spełniających równanie: x 2  6 x  8  0 to:
4
5
A. ma trzy pierwiastki
A. 2
B. 4
2
Do zbioru rozwiązań nierówności: 9  x należy liczba
A. -2
B. 0
C. -2
C. -3
D. -4
D. 2
Zbiór rozwiązań nierówności (x +1)(x −3) >0 przedstawiony jest na rysunku
6
Do zbioru rozwiązań nierówności (x − 2)(x + 3) <0 należy liczba:
7
A. 9
B. 7
C. 4
D. 1
D.  1;2
Strona w
tablicach
Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie
następujące nierówności: 3(x −1)( x −5) ≤ 0 i x >1.
8
9
10
11
Liczby x1 ; x2 są różnymi rozwiązaniami równania 2 x 2  3x  7  0 . Suma x1  x2 jest równa:
7
7
3
3
A. 
B. 
C. 
D. 
2
4
2
4
Zbiorem rozwiązań nierówności x(x + 6) < 0 jest:
A.  6;0
B. 0;6
C.  ;6  0;
D.  ;0  6;
Liczby x1 ; x2 są pierwiastkami równania x 2  10 x  24  0  x1  x2 . Oblicz: 2x1  x2 .
A. -22
B. -17
C. 8
Wskaż równanie, którego rozwiązaniami są liczby: -3 oraz 5.
x  3x  5  0
D. 13
12
x 2  2 x  15
1
2

0
A.
B.
C.
2
2
x3 x5
x 9
x 3
Pierwiastki x1; x2 równania: 2(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 spełniają warunek:
13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B. 
C. 
D.

 1
0



x1 x 2
x1 x 2 4
x1 x 2 2
x1 x 2
Równanie: (2x – 1)(x – 2) = (1 – 2x)(x + 2) ma dwa rozwiązania. Są to liczby
x 2  2 x  15
0
D.
x 2  25
A.
14
15
A. -2 oraz 0,5
B. 0 oraz 0,5
C. 0,5 oraz 2
2
Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x  5 x  6  0 jest
A. -6
B. -3
C. -2
D. -2 oraz 2
D. -1
Zbiorem rozwiązań nierówności x 2  5 jest
16

 
A.  ; 5 
5 ;


B.  ;  5 
5; 
C.
5;   
D. 5;  
Rozwiązaniem nierówności: m  52  0 jest zbiór:
17
A. R
B. 
2
Rozwiązaniem nierówności  x  5  0 jest:
C. {5}
D. {-5}
18
A. zbiór liczb rzeczywistych
B. zbiór pusty
C. liczba -5
D. liczba 5
Różnica między większym i mniejszym rozwiązaniem równania ( x + 7)( x + 1) = 0 jest równa:
19
A. -8
B. -6
C. 6
D. 8
Równanie x  1  x  1
x 1
20
A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1; B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0;
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = -1; D. ma dokładnie dwa rozwiązania: x = 0, x = 1
2
Równanie 2 x  11x  3  0
21
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych; B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste;
C. ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste; D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.
Równania i nierówności wielomianowe
Nr
zad.
1
2
3
4
Wybrana
odpowiedź
Treść zadania


Równanie: x  5x  3 x 2  1  0 ma:
A. dwa rozwiązania: x = - 5; x = 3,
B. dwa rozwiązania: x = - 3; x = 5
C. cztery rozwiązania: x = -5, x = -1, x = 1, x = 3;
D. cztery rozwiązania: x = -3, x = -1, x = 1, x = 5.
Liczba rzeczywistych rozwiązań równania x  1x  2 x 2  3  0 jest równa


A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
2𝑥−10
2
Wspólnym pierwiastkiem równań: (𝑥 − 1)(𝑥 − 10)(𝑥 − 5) = 0 oraz 𝑥−1 = 0 jest liczba:
A. -1
B. 1
Liczba rozwiązań rzeczywistych równania: 16  x 4  0 wynosi:
A. 4
B. 2
Liczba rozwiązań rzeczywistych równania: 81  x 3  0 to:
C. 5
D. 10
C. 1
D. 0
5
A. 3
B. 2
C. 1
Rozwiązaniem równania x  8x  52 x  1  0 są liczby:
D. 0
3
6
A.  8;5;1
B.  1;5;8
C.  1 ;2;5
2
D.  1 ;2;8
Suma wszystkich pierwiastków równania x  3x  7x  11  0 jest równa:
2
7
A. -1
B. 21
C. 1
D. -21
2
2
Liczba niewymiernych rozwiązań równania: x x  52 x  3x  7   0 jest równa
8
A. 0
B. 1
C. 5
D. 2
Strona w
tablicach
Równania i nierówności wymierne
Nr
zad.
Wyrażenie:
1
3x  1 2 x  1
jest równe:

x2 x3
x 2  15 x  1
x  2x  3
x  3x  2  0 ma:
Równanie
x  3x  2
A.
2
B.
x2
x  2x  3
A. 5
 2x  3
x2
Dla x  0 równanie
x
4
C.
x
x  2x  3
D.
A. dokładnie jedno rozwiązanie B. dokładnie dwa rozwiązania
C. dokładnie trzy rozwiązania D. dokładnie cztery rozwiązania

x  3 x 2  4
Liczba różnych rozwiązań równania
 0 wynosi:
x 2  2x

3
Wybrana
odpowiedź
Treść zadania

B. 4
C. 3
D. 2
A. nie ma rozwiązań
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie
C. ma dwa różne rozwiązania
D. ma trzy różne rozwiązania
x
1
 , określone dla x  0 i x  1, jest równe
Wyrażenie
x 1 x
5
A.
x2  x 1
x2  x
B.
x2  x 1
x2  x
C.
x 1
x2  x
D.
x2  x 1
x 1
x2
5
Strona w
tablicach