Zaliczenie z matematyki będzie obejmować następujących tematów:

Zaliczenie z matematyki będzie obejmować następujące tematy:
1. Działania na zbiorach oraz znak sumy.
2. Macierze – dodawanie i mnożenie macierzy oraz iloczyn macierzy przez liczbę, rząd macierzy,
macierz transponowana, macierz odwrotna, operacje elementarne na macierzy.
3. Wyznaczniki, rozwinięcie Laplace’a wyznacznika według elementów i-tego wiersza (j-tej
kolumny)
4. Układy równań liniowych – układ oznaczony, układ nieoznaczony, układ sprzeczny.
Rozwiązywanie układów równań liniowych (wzory Cramera, operacje elementarne), rozwiązanie
ogólne i rozwiązania szczególne, rozwiązanie bazowe. Postać bazowa macierzy. Układ równań
jednorodnych.
5. Liniowa kombinacja, zależność i niezależność wektorów.
Przykładowe zadania do tematów:
1.1 Dane są zbiory: A={1,3,4,6} oraz B={0,2,4}.
a) Podać: A  B, A  B, A  B .
b) Podać wszystkie podzbiory zbioru A.
c) Ile wynosi liczba podzbiorów zbioru B?
1.2 Posługując się znakiem sumy zapisać sumę dodatnich liczb parzystych,  10 oraz  50 .
1.3 Obliczyć:
25 10
a)
 (3  p  m)  …….
p 6 m 0
16
d)
25 10
b)  (3  p  m)  …..
35 10
c)
p 6 m0
20
9
7
 (1  g  m)  ……. e)  4  2k  …..
f)  2m  5  …….
k 0
g  4 m0
 (3  f  h)  …..
f 16h  0
m 3
2.1 Dane są następujące macierze:
2 1  .
 2 1  1 oraz


A
 1 0

0 
B  0
3
1
 1
a) Obliczyć iloczyny: A  B , AT  B T , B  A , B T  AT .
b) Obliczyć A  3  B T .
2.2 Dana jest macierz:
0 3 1  . Wyznaczyć macierz odwrotną dowolną metodą.


A  0
1
 1 2
0 1 
2.3 Wyznaczyć macierz odwrotną metodą operacji elementarnych jeśli dana jest macierz:
1 1 
a)
A
2

b)
1
B  0
2
 1
2
1
1
3 .
2
1
2.4 Jaki jest rząd następujących macierzy:
 2
 1
A
 2

 0
0
2
0
0
1
 1
1
0

1 0 
4
3
6
1
B
0

0
0
4
9
3
0
1
0
0
1 
 6
0 

0 
0
0
C
0

0
3.1 Niech dane będą dwie macierze kwadratowe:
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 6
0 

0 
2 0
D
 1 0
 1
0 
2
A  0
1
1
2 .
 2
3 
4
9
4
3
2
3
0
1
0
0
3 1
 1 2
2 3
oraz
3
B  1
2
1
0
Obliczyć det ( A  B ), detA oraz detB.
3.2 Dana są macierze:
 2
 1
A
 2

 0
1
2
0
 1
B

0
1
0


1 0 
0
0
2
0
0
23 
 5 
 12

8 
Obliczyć wyznaczniki detA oraz detB.
3.3 Rozwiązać względem x równanie:
0
1
1
0
1
x 0
1
x
1
4.1 Rozwiązać następujące układy równań:
a)
 y z t 1
 x  z  t  2 (dowolną


 x  y  t  1

x yz  0
metodą)
b)
x  y  z  1

 xz  2
y  x  z  0

(wzory Cramera) c)
 x1  2 x2  x3  0

 x1  x2  x3  0
 x x 0
2
3

d) 3x
1
 x 2  x3  0
 x 2  x3  0
 4x  4x  0
2
3

Uwaga: Układ równań jednorodnych zawsze posiada rozwiązanie zerowe (czyli nigdy nie jest
sprzeczny). Wystarczającym warunkiem aby układ jednorodny był oznaczony (miał jedno jedyne
rozwiązanie – rozwiązanie zerowe) jest: detA  0
4.2 Dany jest układ:
 x1  x2  2 x4  1

 4 x2  x3  x4  2
Znaleźć rozwiązanie bazowe układu, względem:
a) x1 i x 2 (zmienne bazowe)
b) x3 i x 4 (zmienne bazowe)
c) x1 i x3 (zmienne bazowe)
Dla wszystkich podpunktów podać jedno rozwiązanie szczególne oraz rozwiązanie bazowe.
4.3 Dla jakich wartości parametru k układ równań jest niesprzeczny.
 x1  kx2  1
Wyznaczyć jego rozwiązania.

kx

4
x

0
2
 1
4.4. Rozwiązać równanie macierzowe względem X.
3 5
 2
 4 5
 2
 1 0
1 0
a) 
b) 
c) 
X 
X 
X




1 2
1 
6 9
0 
 1 2
1 3
5.1. Sprawdzić czy wektor b jest kombinacją liniową wektorów a.
a) b=(-1,3,2,6), a1=(3,1,-2,0), a2=(1,2,0,3).
b) b=(1,1,2), a1=(2,2,-1), a2=(0,4,8), a3=(-1,-1,3).
5.2. Sprawdzić czy układy wektorów są liniowo niezależne:
a) a=(1,1,1) b=(1,2,3) c=(1,3,3)
b) a=(1,-1,0,1) b=(0,2,-1,1) c=(1,3,2,0)
Uwaga: Układ n+1 wektorów z przestrzeni Vn jest zawsze liniowo zależny.